Cho khai triển ${\left(1-\frac{2x}{3}\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$ . Tìm max$\left\{a_0;a_1;a_2;\dots ;a_n\right\}$ biết $A_{n-2}^2+C_n^{n-2}=188.$

Đáp án A.

+ Ta có

$\begin{array}{l}{A}_{n-2}^2+C_n^{n-2}=188\\ \Rightarrow \frac{(n-2)!}{(n-4)!}+\frac{n!}{(n-2)!2!}=188\end{array}$ 

$\begin{array}{l}\iff (n-2)(n-3)+\frac{n(n-1)}{2}=188\\ \iff 3n^2-n-364=0\iff \left[\begin{array}{l}n=-\frac{28}{3}\left(1\right)\\ n=13\end{array}\right.\end{array}$ 

+ Tìm hệ số lớn nhất trong các số hạng của khai triển ${\left(1-\frac{2x}{3}\right)}^{13}$.

Số hạng tổng quá $T_{k+1}=C_{13}^k{1}^{13-k}{\left(-\frac{2x}{3}\right)}^k$ 

$\Rightarrow a_k=c_{13}^k{\left(-\frac{2}{3}\right)}^k\Rightarrow a_k$ là giá trị lớn nhất $\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_k\ge a_{k+1}\\ a_k\ge a_{k-1}\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{C}_{13}^k{\left(-\frac{2}{3}\right)}^k\ge C_{13}^{k+1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{k+1}\\ C_{13}^k{\left(-\frac{2}{3}\right)}^k\ge C_{13}^{k-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{k-1}\end{array}\right.$ với $\left\{\begin{array}{l}0\le k\le 13\\ k\in \mathbb{N}\end{array}\right.\Rightarrow k=6$ 

Vậy hệ số max là $a_8=C_{13}^6{\left(-\frac{2}{3}\right)}^8$.

Cách 2: Dùng MTCT

+ Dùng công cụ nhập MODE  7 nhập $f\left(X\right)=\left(X-2\right)P2+XC\left(X-2\right)-188$

Start: 3       Bảng giá trị        x   f(x) 

End: 23                                                         

Step: 1                13               0

Từ bảng giá trị tìm x sao cho $f\left(x\right)=0\Rightarrow x=13$. Vậy n=13.

+ Có

$\begin{array}{l}{\left(1-\frac{2x}{3}\right)}^{13}\\ =\sum _{k=0}^{13}{C}_{13}^k.{\left(-\frac{2}{3}\right)}^k.x^k\\ \Rightarrow a_k=C_{13}^k.{\left(-\frac{2}{3}\right)}^k\end{array}$ 

+ Nhập vào máy tính  $f\left(x\right)=\left(13CX\right){\left(-\frac{2}{3}\right)}^k$

Start: 0       Bảng giá trị       x   f(x) 

End: 13                                                         

Step: 1             6                150.65 -> max

Từ bảng giá trị f(x) chọn f(x) lớn nhất => Giá trị x cần tìm là k

$\to k=x=6$ thì $f\left(x\right)=150.65$ là giá trị lớn nhất.