Tìm các nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(2x-3\right)=2$

Đáp án A.

Có tất cả 15 điểm được tô màu gồm 4 đỉnh của tứ diện, 6 trung điểm của 6 cạnh, 4 trọng tâm của 4 mặt bên và 1 trọng tâm của tứ diện.

Không gian mẫu là “Chọn ngẫu nhiên 4 trong số 15 điểm đã tô màu”. Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{15}^4$  .

Gọi A là biến cố “4 điểm được chọn đồng phẳng”. Suy ra  là biến cố “4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện”. Để xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A ta xét các trường hợp sau:

a. 4 điểm cùng thuộc “một mặt bên của tứ diện”

Một mặt bên có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên một mặt bên là $C_7^4$  (cách).

Có tất cả 4 mặt bên nên số cách chọn thỏa mãn trường hợp a. là $4.C_7^4$  (cách).

b. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 cạnh của tứ diện và trung điểm của cạnh đối diện:.

Mặt phẳng đó có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là $C_7^4$  (cách).

Hình tứ diện có 6 cạnh nên có tất cả 6 mặt như thế. Số cách chọn 4 điểm thỏa mãn trường hợp b. là $6C_7^4$  (cách).

c. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 đỉnh và đường trung bình của tam giác đối diện đỉnh đó”.

Mặt phẳng đó có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là $C_5^4$  (cách).

Do mỗi mặt bên là một tam giác có 3 đường trung bình, nên mỗi đỉnh có tương ứng 3 mặt phẳng như thế (chứa đỉnh và đường trung bình). Mà tứ diện có 4 đỉnh nên có tất cả  $3.4=12$ mặt phẳng ở trường hợp c.

Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp c. là  $12C_5^4$ (cách).

d. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 2 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện”.

Có 3 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện. Số mặt phẳng được tạo thành từ 2 trong 3 đường đó là  $C_3^2$(mặt phẳng).

Mỗi mặt phẳng như thế có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) là  $C_5^4$(cách).

Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp d. là $C_3^2.C_5^4$  (cách).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n\left(A\right)=4C_7^4+6C_7^4$$+12C_5^4+C_3^2.C_5^4=425$  .

Vậy xác suất cần tính là

$\begin{array}{l}P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)\\ =1-\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}\\ =1-\frac{425}{C_{15}^4}=\frac{188}{173}\end{array}$

Đáp án A.

Cách 1. tư duy tự luận

$\begin{array}{l}I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{x+3}}{x^2-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-\sqrt{x+3}\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}{\left(x^2-1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4x^2-x-3}{\left(x^2-1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(4x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4x+3}{\left(x+1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\frac{7}{2.4}=\frac{7}{8}\end{array}$

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

vậy $I=\frac{7}{8}$

Cách 3: Sử dụng quy tắc L’Hospital và máy tính cầ tay

Vậy $I=\frac{7}{8}$