Câu hỏi:

17/08/2020 1,231

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm $A (a; 0; 0), B (0; b; 0),$ $C (0; 0; c)$ với a, b, c khác 0 và $a + 2 b + 2 c = 6$ . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)

A. $d = 1$

B. $d = \sqrt{3}$

C. $d = 2$

D. $d = 3$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A.

1. Tìm tọa độ tâm I ngoại tiếp tứ diện OABC

Gọi M là trung điểm của AB thì $M (\frac{a}{2}; \frac{b}{2}; 0)$ . Đường thẳng d là trục của nên d đi qua M và nhận vecto chỉ phương $\vec{k} = (0; 0; 1)$

Phương trình tham số của đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = \frac{a}{2} \\ y = \frac{b}{2} \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Gọi N là trung điểm của OC thì $N (0; 0; \frac{c}{2})$ .

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của OC nên (P) đi qua M và nhận vecto pháp tuyến là $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P) : z = \frac{c}{2}$ .

Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), tức $I (\frac{a}{2}; \frac{b}{2}; \frac{c}{2})$ .

2. Tìm mặt phẳng (P) là quỹ tích của tâm I và tính $d (O; (P))$ .

Ta có $x_{I} = \frac{a}{2}; y_{I} = \frac{b}{2};$ $z_{I} = \frac{c}{2} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 x_{I} \\ b = 2 y_{I} \\ c = 2 z_{I} \end{cases}$

Mà $a + 2 b + 2 c = 6$ nên $2 x_{I} + 2.2 y_{I} + 2.2 z_{I} = 6$ $\Leftrightarrow x_{I} + 2 y_{I} + 2 z_{I} - 3 = 0$

Vậy điểm I luôn nằm trên một mp cố định có pt là $(P) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ .

Vậy $d (O; (P)) = \frac{|0 + 2.0 + 2.0 - 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 1$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu. Tính xác suất để 4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện.

A. $\frac{188}{273}$

B. $\frac{1009}{1365}$

C. $\frac{245}{273}$

D. $\frac{136}{195}$

Lời giải

Đáp án A.

Có tất cả 15 điểm được tô màu gồm 4 đỉnh của tứ diện, 6 trung điểm của 6 cạnh, 4 trọng tâm của 4 mặt bên và 1 trọng tâm của tứ diện.

Không gian mẫu là “Chọn ngẫu nhiên 4 trong số 15 điểm đã tô màu”. Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{15}^{4}$ .

Gọi A là biến cố “4 điểm được chọn đồng phẳng”. Suy ra là biến cố “4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện”. Để xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A ta xét các trường hợp sau:

a. 4 điểm cùng thuộc “một mặt bên của tứ diện”

Một mặt bên có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên một mặt bên là $C_{7}^{4}$ (cách).

Có tất cả 4 mặt bên nên số cách chọn thỏa mãn trường hợp a. là $4. C_{7}^{4}$ (cách).

b. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 cạnh của tứ diện và trung điểm của cạnh đối diện:.

Mặt phẳng đó có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là $C_{7}^{4}$ (cách).

Hình tứ diện có 6 cạnh nên có tất cả 6 mặt như thế. Số cách chọn 4 điểm thỏa mãn trường hợp b. là $6 C_{7}^{4}$ (cách).

c. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 đỉnh và đường trung bình của tam giác đối diện đỉnh đó”.

Mặt phẳng đó có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là $C_{5}^{4}$ (cách).

Do mỗi mặt bên là một tam giác có 3 đường trung bình, nên mỗi đỉnh có tương ứng 3 mặt phẳng như thế (chứa đỉnh và đường trung bình). Mà tứ diện có 4 đỉnh nên có tất cả $3.4 = 12$ mặt phẳng ở trường hợp c.

Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp c. là $12 C_{5}^{4}$ (cách).

d. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 2 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện”.

Có 3 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện. Số mặt phẳng được tạo thành từ 2 trong 3 đường đó là $C_{3}^{2}$ (mặt phẳng).

Mỗi mặt phẳng như thế có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) là $C_{5}^{4}$ (cách).

Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp d. là $C_{3}^{2} . C_{5}^{4}$ (cách).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n (A) = 4 C_{7}^{4} + 6 C_{7}^{4}$ $+ 12 C_{5}^{4} + C_{3}^{2} . C_{5}^{4} = 425$ .

Vậy xác suất cần tính là

$\begin{array}{l} P (\bar{A}) = 1 - P (A) \\ = 1 - \frac{n (A)}{n (Ω)} \\ = 1 - \frac{425}{C_{15}^{4}} = \frac{188}{173} \end{array}$

Câu 2

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \sin |2016 x| + \cos 2017 x$

B. $y = 2016 \cos x + 2017 \sin x$

C. $y = \cot 2015 x - 2016 \sin x$

D. $y = \tan 2016 x + \cot 2017 x$

Lời giải

Đáp án A.

Cách 1: Tư duy tự luận

Các hàm số đã cho đều có tập xác định là $D = ℝ$ , khi đó $\forall x \in ℝ \to (- x) \in ℝ$ .

Với A: $y (- x) = \sin |- 2016 x| + \cos (- 2017 x)$ $= \sin 2016 x + \cos 2017 x = y (x)$

Suy ra hàm số $y = \sin |2016 x| + \cos 2017 x$ chẵn trên $ℝ$ . Chọn A.

Với B: $y (- x) = 2016 \cos (- x) + 2017 \sin (- x)$ $= 2016 \cos x - 2017 \sin x \neq \pm y (x)$

Suy ra hàm số $y = 2016 \cos x + 2017 \sin x$ không chẵn, không lẻ trên . Loại B.

Với C: $y (- x) = \cot (- 2015 x) - 2016 \sin (- x)$ $= - \cot 2015 x + 2016 \sin x = - y (x)$

Suy ra hàm số $y = \cot 2015 x - 2016 \sin x$ lẻ trên R . Loại C.

Với D: $y (- x) = \tan (- 2016 x) + \cot (- 2017 x)$ $= - \tan 2016 - \cot 2017 x = - y (x)$

Suy ra hàm số $y = \tan 2016 x + \cot 2017 x$ lẻ trên R . Loại D.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Các hàm số đều có tập xác định là R nên $\forall x \in ℝ \to (- x) \in ℝ$ .

* Với A: Dùng TABLE, nhập hai hàm số $f (X) = \sin (|2016 X|) + \cos (2017 X)$ và $g (X) = \sin (|- 2016 X|)$ $+ \cos (- 2017 X)$

Câu 3

Tính $I = \lim_{x \to 1} \frac{2 x - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 1}$

A. $I = \frac{7}{8}$

B. $I = \frac{3}{2}$

C. $I = \frac{3}{8}$

D. $I = \frac{3}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tích $(2017!) {(1 + \frac{1}{1})}^{1} {(1 + \frac{1}{2})}^{2} ... {(1 + \frac{1}{2017})}^{2017}$ được viết dưới dạng $a^{b}$ . Khi đó $(a; b)$ là cặp nào trong các cặp sau:

A. $(2018; 2017)$

B. $(2019; 2018)$

C. $(2015; 2014)$

D. $(2016; 2015)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4dm. Người ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính $O A = 4$ dm (hình vẽ) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB). Chiều cao của chiếc phếu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là

A. 3,872 dm

B. 3,874 dm

C. 3,871 dm

D. 3,873 dm

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Chọn khẳng định đúng

A. Hàm số nghịch biến trên R

B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

C. Hàm số đồng biến trên R

D. Hàm số có duy nhất một cực trị

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức $N = A . e^{r t}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng $(r > 0)$ và t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?

A. 48 giờ

B. 24 giờ

C. 60 giờ

D. 36 giờ

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Tính I=limx→12x−x+3x2−1

Tích 2017!1+1111+122...1+120172017 được viết dưới dạng ab. Khi đó a;b là cặp nào trong các cặp sau:

Cho hàm số y=x−2x+1. Chọn khẳng định đúng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính $I = \lim_{x \to 1} \frac{2 x - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 1}$

Tích $(2017!) {(1 + \frac{1}{1})}^{1} {(1 + \frac{1}{2})}^{2} ... {(1 + \frac{1}{2017})}^{2017}$ được viết dưới dạng $a^{b}$ . Khi đó $(a; b)$ là cặp nào trong các cặp sau:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Chọn khẳng định đúng