Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),$$C\left(0;0;c\right)$ với a, b, c khác 0 và $a+2b+2c=6$. Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)

Đáp án A.

1. Tìm tọa độ tâm I ngoại tiếp tứ diện OABC

Gọi M là trung điểm của AB thì $M\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};0\right)$ . Đường thẳng d là trục của  nên d đi qua M và nhận vecto chỉ phương $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{a}{2}\\ y=\frac{b}{2}\\ z=t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$ .

Gọi N là trung điểm của OC thì $N\left(0;0;\frac{c}{2}\right)$.

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của OC nên (P)   đi qua M và nhận vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(P\right):z=\frac{c}{2}$ .

Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), tức $I\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}\right)$ .

2. Tìm mặt phẳng (P)   là quỹ tích của tâm I và tính $d\left(O;\left(P\right)\right)$  .

Ta có  $x_I=\frac{a}{2};y_I=\frac{b}{2};$$z_I=\frac{c}{2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=2x_I\\ b=2y_I\\ c=2z_I\end{array}\right.$

Mà  $a+2b+2c=6$ nên  $2x_I+2.2y_I+2.2z_I=6$$\iff x_I+2y_I+2z_I-3=0$

Vậy điểm I luôn nằm trên một mp cố định có pt là $\left(P\right):x+2y+2z-3=0$ .

Vậy $d\left(O;\left(P\right)\right)=\frac{\left|0+2.0+2.0-3\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=1$