Trong mặt phẳng (P), cho elip (E) có độ dài trục lớn AA'=8 và độ dài trục nhỏ là BB'=6. Đường tròn tâm O đường kính BB’ như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elip và đường tròn đó (phần hình phẳng tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA’

Đáp án D

Phương trình $\left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m{\sin }^{2}x$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left[\cos 2x-m\cos x-m\left(1-\cos x\right)\right]=0$$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x+1=0\\ \cos 2x-m=0\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos 2x=m\end{array}\right.$

 Nếu $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$   thì $x\in \left[-\frac{1}{2};1\right]$  (quan sát trên đường tròn lượng giác). Suy ra phương trình $\cos x=-1$  không có nghiệm trên đoạn $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ .

 Nếu $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$$\Rightarrow 2x\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$ . Dựa vào đường tròn lượng giác, để phương trình $\cos 2x=m$  có đúng hai nghiệm $\iff -1<m\le -\frac{1}{2}$  .

Đáp án D

Ta có $9S=9+99+999+\mathrm{...}+\underset{n\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}so\hspace{0.17em}9}}{\underbrace{\mathrm{99...99}}}$$=\left(10-1\right)+\left({10}^2-1\right)+$$\left({10}^3-1\right)+\mathrm{...}+\left({10}^n-1\right)$

$=\left(10+{10}^2+{10}^3+\mathrm{...}+{10}^n\right)-n$$=\frac{10\left(1-{10}^n\right)}{1-10}-n$$=\frac{10\left({10}^n-1\right)}{9}-n$

Vậy $S=\frac{10}{81}\left({10}^n-1\right)-\frac{n}{9}$ .