Trong mặt phẳng (P), cho elip (E) có độ dài trục lớn AA'=8 và độ dài trục nhỏ là BB'=6. Đường tròn tâm O đường kính BB’ như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elip và đường tròn đó (phần hình phẳng tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA’

Đáp án D

Phương trình $\left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m{\sin }^{2}x$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left[\cos 2x-m\cos x-m\left(1-\cos x\right)\right]=0$$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x+1=0\\ \cos 2x-m=0\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos 2x=m\end{array}\right.$

 Nếu $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$   thì $x\in \left[-\frac{1}{2};1\right]$  (quan sát trên đường tròn lượng giác). Suy ra phương trình $\cos x=-1$  không có nghiệm trên đoạn $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ .

 Nếu $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$$\Rightarrow 2x\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$ . Dựa vào đường tròn lượng giác, để phương trình $\cos 2x=m$  có đúng hai nghiệm $\iff -1<m\le -\frac{1}{2}$  .

Đáp án C

Cắt sợi dây 6 mét đã cho thành hai phần có độ dài lần luột là x mét và 6-x mét $\left(0<x<6\right)$ . Phần thứ nhất có độ dài x mét được uốn thành hình tam giác đều cạnh bằng $\frac{x}{3}$  mét. Phần thứ hai có độ dài 6-x mét được uốn thành hình vuông cạnh bằng $\frac{6-x}{4}$  mét.

Diện tích phần I là $S_1={\left(\frac{x}{3}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}$$=\frac{x^2\sqrt{3}}{36}\left(m^2\right)$ .

Diện tích phần II là $S_2={\left(\frac{6-x}{4}\right)}^2\left(m^2\right)$ .

Tổng diện tích hai phần là $S\left(x\right)=S_1+S_2$$=\frac{x^2\sqrt{3}}{36}+{\left(\frac{6-x}{4}\right)}^2\left(m^2\right)$  với $x\in \left(0;6\right)$

Đạo hàm $S^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x\sqrt{3}}{18}-\frac{6-x}{8};$$\hspace{0.17em}{S}^{\text{'}}\left(x\right)=0$$\iff x=\frac{54}{9+4\sqrt{3}}\in \left(0;6\right)$  . Lập bảng biến thiên của hàm số $S\left(x\right)$   trên khoảng $\left(0;6\right)$ , ta thấy $\min S\left(x\right)=S\left(\frac{54}{9+4\sqrt{3}}\right)$  .

Khi đó cạnh của tam giác đều bằng $\frac{18}{9+4\sqrt{3}}\left(m\right)$  .