Tổng $S=1+11+111+\mathrm{...}+\underset{n\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}so\hspace{0.17em}1}}{\underbrace{\mathrm{11...111}}}$ là

Đáp án D

Phương trình $\left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m{\sin }^{2}x$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left[\cos 2x-m\cos x-m\left(1-\cos x\right)\right]=0$$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x+1=0\\ \cos 2x-m=0\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos 2x=m\end{array}\right.$

 Nếu $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$   thì $x\in \left[-\frac{1}{2};1\right]$  (quan sát trên đường tròn lượng giác). Suy ra phương trình $\cos x=-1$  không có nghiệm trên đoạn $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ .

 Nếu $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$$\Rightarrow 2x\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$ . Dựa vào đường tròn lượng giác, để phương trình $\cos 2x=m$  có đúng hai nghiệm $\iff -1<m\le -\frac{1}{2}$  .

Đáp án B

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay elip có trục lớn $A{A}^{\text{'}}=8$ , trục nhỏ $B{B}^{\text{'}}=6$  khi quay quanh trục AA’ là $V_{\left(E\right)}=\frac{4}{3}\pi .\frac{A{A}^{\text{'}}}{2}.{\left(\frac{B{B}^{\text{'}}}{2}\right)}^2$$=\frac{4}{3}\pi {\mathrm{.4.3}}^2=48\pi$  (đvtt).

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay đường tròn $\left(O;\frac{B{B}^{\text{'}}}{2}\right)$  quanh trục AA’ cũng chính là thể tích khối cầu tâm O, bán kính $R=3$ . Thể tích đó là 

$V_{\left(O;3\right)}=\frac{4}{3}\pi R^3$$=\frac{4}{3}\pi {.3}^3=36\pi$(đvtt).

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=V_{\left(E\right)}-V_{\left(O;3\right)}$$=48\pi -36\pi =12\pi$  (đvtt)