Cho phương trình $\left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m{\sin }^{2}x$. Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ khi

Đáp án B

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay elip có trục lớn $A{A}^{\text{'}}=8$ , trục nhỏ $B{B}^{\text{'}}=6$  khi quay quanh trục AA’ là $V_{\left(E\right)}=\frac{4}{3}\pi .\frac{A{A}^{\text{'}}}{2}.{\left(\frac{B{B}^{\text{'}}}{2}\right)}^2$$=\frac{4}{3}\pi {\mathrm{.4.3}}^2=48\pi$  (đvtt).

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay đường tròn $\left(O;\frac{B{B}^{\text{'}}}{2}\right)$  quanh trục AA’ cũng chính là thể tích khối cầu tâm O, bán kính $R=3$ . Thể tích đó là 

$V_{\left(O;3\right)}=\frac{4}{3}\pi R^3$$=\frac{4}{3}\pi {.3}^3=36\pi$(đvtt).

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=V_{\left(E\right)}-V_{\left(O;3\right)}$$=48\pi -36\pi =12\pi$  (đvtt)

Đáp án C

Cắt sợi dây 6 mét đã cho thành hai phần có độ dài lần luột là x mét và 6-x mét $\left(0<x<6\right)$ . Phần thứ nhất có độ dài x mét được uốn thành hình tam giác đều cạnh bằng $\frac{x}{3}$  mét. Phần thứ hai có độ dài 6-x mét được uốn thành hình vuông cạnh bằng $\frac{6-x}{4}$  mét.

Diện tích phần I là $S_1={\left(\frac{x}{3}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}$$=\frac{x^2\sqrt{3}}{36}\left(m^2\right)$ .

Diện tích phần II là $S_2={\left(\frac{6-x}{4}\right)}^2\left(m^2\right)$ .

Tổng diện tích hai phần là $S\left(x\right)=S_1+S_2$$=\frac{x^2\sqrt{3}}{36}+{\left(\frac{6-x}{4}\right)}^2\left(m^2\right)$  với $x\in \left(0;6\right)$

Đạo hàm $S^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x\sqrt{3}}{18}-\frac{6-x}{8};$$\hspace{0.17em}{S}^{\text{'}}\left(x\right)=0$$\iff x=\frac{54}{9+4\sqrt{3}}\in \left(0;6\right)$  . Lập bảng biến thiên của hàm số $S\left(x\right)$   trên khoảng $\left(0;6\right)$ , ta thấy $\min S\left(x\right)=S\left(\frac{54}{9+4\sqrt{3}}\right)$  .

Khi đó cạnh của tam giác đều bằng $\frac{18}{9+4\sqrt{3}}\left(m\right)$  .