Cho số phức $z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$. Tính giá trị của biểu thức

$$\begin{gathered} P={\left(z+\frac{1}{z}\right)}^{2016}+{\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)}^{2017} \\ +{\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)}^{2018}+{\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)}^{2019}-2^{2018} \end{gathered}$$

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thu mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?

Năm 1992, người ta đã biết số $P=2^{756839}-1$ là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó) Hỏi rằng, viết trong hệ thập phân số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số? (Biết rằng $\log \left(2\right)\approx 0,30102$)

Tìm giá trị của m để hàm số $y=\frac{x^2-2mx+3m^2}{2m-x}$nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y={\sin }^4\left(x\right){\cos }^6\left(x\right)$

Tính giới hạn của hàm số $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x+8}-\sqrt{x+4}}{x}$

Tính giới hạn của dãy số $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1.1!+2.2!+..+n.n!}{\left(n+1\right)!}$

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A ( 2;0;0 ), B ( 0;4;0 ), C ( 0;0;6 ), D ( 2;4;6 ). Xét các mệnh đề sau:

(I). Tập hợp các điểm M sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|$ là một mặt phẳng

(II). Tập hợp các điểm M sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=4$ là một mặt cầu tâm I(1;2;3) và bán kính R = 1