Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có $SA=a\sqrt{3},AB=a,AC=a\sqrt{2}$. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a\sqrt{14}}{7}$ và góc giữa đường thẳng SB với mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(1;2;3\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1}$.Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua A, vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$. Đường thẳng $∆$ không nằm trong mặt phẳng nào dưới đây?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left|z-3+4i\right|+\left|z+2-i\right|=5\sqrt{2}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left|z-4-3i\right|$. Tính tổng bình phương của M và m.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Cắt khối trụ bằng mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng bằng $\frac{r\sqrt{2}}{2}$. Mặt phẳng (P) chia khối trụ thành hai phần. Gọi $V_1$ là thể tích của phần chứa tâm của đường tròn đáy và $V_2$ thể tích của phần không chứa tâm của đường tròn đáy, tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.