Phương trình: $\cos (2x+\frac{\pi }{4})+\cos (2x-\frac{\pi }{4})+4\sin x=2+\sqrt{2}(1-\sin x)$ có nghiệm là:

+) Xét cosx = 0 thì sinx = 1, khi đó phương trình trở thành: 1 = 0 (vô lý)

Do đó cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

+) Xét $\text{cos}x\ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho cosx, ta được:

${\tan }^{2}x-\left(\sqrt{3}+1\right)\tan x+\sqrt{3}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=\sqrt{3}\\ \tan x=1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy họ nghiệm của phương trình đã cho là: $\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Chọn D.

+) Xét cosx = 0 $\Rightarrow$ sinx = 1, khi đó phương trình trở thành:

2.1² – 5.1.0 – 0 ² = -2

$\iff$ 2 = - 2 (vô lý)

+) Xét $cosx\ne 0\left(*\right)$, chia cả hai vế của phương trình cho cosx, ta được:

2tan²x – 5tanx – 1 = -2(tan²x + 1)

$\iff$4tan²x – 5tanx + 1 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \left(\frac{1}{4}\right)+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$ (Thoả mãn điều kiện (*))

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,\arctan \left(\frac{1}{4}\right)+k\pi \left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$.

Chọn C