Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1,b≥1,c≥1 và ab+bc+ca=9.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ca Do đó: 2a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca)=2.9=18⇒2P≥18⇒P≥9Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3. Vậy MinP= 9 khi a=b=c=3Vì a, b, c ≥1, nên (a−1)(b−1)≥0⇔ab−a−b+1≥0⇔ab+1≥a+bTương tự ta có bc+1≥b+c, ca+1≥c+a Do đó ab+bc+ca+3≥2(a+b+c)⇔a+b+c≤9+32=6Mà P=a2+b2+c2=a+b+c2−2ab+bc+ca=a+b+c2–18⇒P≤36−18=18. Dấu bằng xảy ra khi : a=4;b=c=1b=4;a=c=1c=4;a=b=1Vậy maxP= 18 khi : a=4;b=c=1b=4;a=c=1c=4;a=b=1

Câu hỏi:

12/07/2024 3,773

Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: $a \geq 1, b \geq 1, c \geq 1$ và $a b + b c + c a = 9$ .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

$a^{2} + b^{2} \geq 2 a b, b^{2} + c^{2} \geq 2 b c, c^{2} + a^{2} \geq 2 c a$

Do đó: $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a) = 2.9 = 18 \Rightarrow 2 P \geq 18 \Rightarrow P \geq 9$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = \sqrt{3}$ . Vậy MinP= 9 khi $a = b = c = \sqrt{3}$

Vì $a, b, c \geq 1$ , nên $(a - 1) (b - 1) \geq 0 \Leftrightarrow a b - a - b + 1 \geq 0 \Leftrightarrow a b + 1 \geq a + b$

Tương tự ta có $b c + 1 \geq b + c, c a + 1 \geq c + a$

Do đó $a b + b c + c a + 3 \geq 2 (a + b + c) \Leftrightarrow a + b + c \leq \frac{9 + 3}{2} = 6$

Mà $P = a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(a + b + c)}^{2} - 2 (a b + b c + c a) = {(a + b + c)}^{2} - 18$

$\Rightarrow P \leq 36 - 18 = 18$ . Dấu bằng xảy ra khi : $\{\begin{cases} a = 4; b = c = 1 \\ b = 4; a = c = 1 \\ c = 4; a = b = 1 \end{cases}$

Vậy maxP= 18 khi : $\{\begin{cases} a = 4; b = c = 1 \\ b = 4; a = c = 1 \\ c = 4; a = b = 1 \end{cases}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h). Điều kiện x>0

Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên vận tốc ô tô là x+10 (km/h).

Thời gian xe máy đi từ A đến B là $\frac{120}{x}$ (h)

Thời gian ô tô đi từ A đến B là $\frac{120}{x + 10}$ (h)

Xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút =3/5(h) nên ta có phương trình:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 10} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow 120.5. (x + 10) - 120.5. x = 3 x . (x + 10) \Leftrightarrow 3 x^{2} + 30 x - 6000 = 0 \Leftrightarrow (x + 50) (x - 40) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 50 \\ x = 40 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện đầu bài ta được x= 40.

Vậy vận tốc của xe máy là 40 (km/h), vận tốc của ô tô là 50(km/h).

Câu 2

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 25}$ với $x \geq 0, x \neq 25$
3) Tìm tất cả các giá trị của x để $A = B . |x - 4|$ .

Xem đáp án

Lời giải

Với $x \geq 0, x \neq 25$ Ta có: $A = B . |x - 4|$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5} = \frac{1}{\sqrt{x} - 5} . |x - 4| \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 = |x - 4| (*)$

Nếu $x \geq 4, x \neq 25$ thì (*) trở thành : $\sqrt{x} + 2 = x - 4$

$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} - 6 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 2) = 0$

Do $\sqrt{x} + 2 > 0$ nên $\sqrt{x} = 3 \Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

Nếu $0 \leq x < 4$ thì (*) trở thành : $\sqrt{x} + 2 = 4 - x$

$\Leftrightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2) = 0$

Do $\sqrt{x} + 2 > 0$ nên $\sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị x=1 và x= 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d) : y = m x + 5.$
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol $(P) : y = x^{2}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1}, x_{2}$ (với $x_{1} < x_{2}$ ) sao cho $|x_{1}| > |x_{2}|$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + 2 \sqrt{y - 1} = 5 \\ 4 \sqrt{x} - \sqrt{y - 1} = 2 \end{cases} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d) : y = m x + 5.$
a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.
3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1,b≥1,c≥1 và ab+bc+ca=9.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

Cho hai biểu thức A=x+2x−5 và B=3x+5+20−2xx−25 với x≥0, x≠253) Tìm tất cả các giá trị của x để A=B.x−4.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:y=mx+5.b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol P:y=x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 (với x1<x2) sao cho x1>x2.

Giải hệ phương trình x+2y−1=54x−y−1=2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:y=mx+5.a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: $a \geq 1, b \geq 1, c \geq 1$ và $a b + b c + c a = 9$ .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 25}$ với $x \geq 0, x \neq 25$
3) Tìm tất cả các giá trị của x để $A = B . |x - 4|$ .

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + 2 \sqrt{y - 1} = 5 \\ 4 \sqrt{x} - \sqrt{y - 1} = 2 \end{cases} .$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d) : y = m x + 5.$
a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m.