Cho tam giác ABC  (AB < AC), đường phân giác trong AD. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Chứng minh:

a) $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC};$

b) $AM.DN=AN.DM.$

Cho tam giác ABC và d là đường thẳng tùy ý qua B. Qua E là điểm bất kì trên AC, vẽ đường thẳng song song với AB và BC, lần lượt cắt d tại M và N. Gọi D là giao điểm của ME và BC. Đường thẳng NE cắt AB và MC lần lượt tại F và K. Chứng minh:

a) $\Delta AFN\backsim \Delta MDC;$                                      b) $AN\parallel MK.$

Cho tam giác ABC có AM là phân giác của $\widehat{BAC}\left(M\in BC\right)$. Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A sao cho $\widehat{BCx}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$ Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng minh:

a) $∆BAM ~ ∆NCM$

b)  $∆ABM ~ ∆ANC$

c) Tam giác BCN cân.

Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:

a) $\Delta ABD\backsim \Delta ECD;$                                                 b) $\Delta ACE$ cân tại C

Cho tam giác ABC vuông tại A, Q là điểm trên AC. Gọi D là hình chiếu của Q trên BC và E là giao điểm của AB và QD. Chứng minh:

a) $QA.QC=QD.QE;$

b) $AB.AE=AQ.AC.$

Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho $\widehat{ACI}=\widehat{BDA}.$ Chứng minh:

a) $\Delta ABD\backsim \Delta AIC;$                                        b) $\Delta ABD\backsim \Delta CID;$ 

c) $A{D}^2=AB.AC-DB.DC.$

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF đồng quy tại H. Chứng minh:

a) $\Delta AFN\backsim \Delta MDC;$;

b) H là giao điểm các đường phân giác của $\Delta D\text{EF}$;

c) $BH.BE+CH.CF=B{C}^2.$