Cho P=1a−1+3a+5aa−a−a+1a+124a(a>0,a≠1)a) Rút gọn Pb) Đặt Q=(a−a+1)P. Chứng minh Q > 1

a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:P=a−1(a−1)(a−1)+3a+5(a−1)(a−1).(a+2a+1)−4a4a=4a+4(a−1)2(a+1).a−2a+14a=4(a−1)2.(a−1)24a=1ab, Có Q=a−a+1aXét Q−1=a−2a+1a=(a−1)2aVì (a−1)2>0,a>0,∀a>0,a≠1⇒Q−1>0⇒Q>1

Câu hỏi:

13/07/2024 755

Cho $P = (\frac{1}{a - 1} + \frac{3 \sqrt{a} + 5}{a \sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}) [\frac{{(\sqrt{a} + 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}}] (a > 0, a \neq 1)$
a) Rút gọn P
b) Đặt $Q = (a - \sqrt{a} + 1) P .$ Chứng minh Q > 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:

$\begin{array}{l} P = [\frac{\sqrt{a} - 1}{(a - 1) (\sqrt{a} - 1)} + \frac{3 \sqrt{a} + 5}{(a - 1) (\sqrt{a} - 1)}] . \frac{(a + 2 \sqrt{a} + 1) - 4 \sqrt{a}}{4 \sqrt{a}} \\ = \frac{4 \sqrt{a} + 4}{{(\sqrt{a} - 1)}^{2} (\sqrt{a} + 1)} . \frac{a - 2 \sqrt{a} + 1}{4 \sqrt{a}} = \frac{4}{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}} . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a}} \end{array}$

b, Có $Q = \frac{a - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}$

Xét $Q - 1 = \frac{a - 2 \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} = \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{\sqrt{a}}$

Vì ${(\sqrt{a} - 1)}^{2} > 0, \sqrt{a} > 0, \forall a > 0, a \neq 1 \Rightarrow Q - 1 > 0 \Rightarrow Q > 1$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ (1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn ${(x_{1} - m)}^{2} + x_{2} = m + 2$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x_{2 $\Leftrightarrow Δ' = {(m + 1)}^{2} - m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 2 m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{2}$}

Theo định lý Viét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ x_{1} x_{2} = m^{2} \end{cases}$

Có $(2) \Leftrightarrow x_{1}^{2} - 2 x_{1} m + m^{2} + x_{2} = m + 2 \Leftrightarrow x_{1} (x_{1} - 2 m) + m^{2} + x_{2} = m + 2$

Thay $x_{1} - 2 m = 2 - x_{2}; m^{2} = x_{1} x_{2}$ vào ta có $x_{1} (2 - x_{2}) + x_{1} x_{2} + x_{2} = m + 2 \Leftrightarrow 2 x_{1} + x_{2} = m + 2$

Ta có hệ $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ 2 x_{1} + x_{2} = m + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - m \\ x_{2} = 3 m + 2 \end{cases} \Rightarrow m^{2} = x_{1} x_{2} = - m (3 m + 2) \Rightarrow 4 m^{2} + 2 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - \frac{1}{2} \end{array}$ (thỏa mãn)

+ Với m = 0: $(1) \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 0 \\ x_{2} = 2 \end{array}$ (thỏa mãn đề bài)

+ Với $m = - \frac{1}{2} : (1) \Leftrightarrow x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn đề bài)

Vậy m = 0 hoặc m = -1/2 là tất cả các giá trị m cần tìm.

Câu 2

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh AH = 2OM

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi F là điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF là đường kính của (O)

Ta có ACF = ABF = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ CF , AB ⊥ BF

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ CF // BH, BF // HC

Suy ra BHCF là hình bình hành ⇒ Trung điểm M của BC cũng là trung điểm của HF.

⇒ OM là đường trung bình của ∆ AHF ⇒ AH = 2OM

Câu 3