Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
b) Dựng hình bình hành AHIO. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng OI. OJ = R²

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Vì AHIO là hình bình hành nên OI = AH = 2OM

Gọi P là trung điểm OC ⇒ PJ là trung trực OC ⇒ PJ ⊥ OC.

Có OM là trung trực BC ⇒ OM ⊥ BC. Suy ra

$\begin{array}{l} Δ O J P ~ Δ O C M (g . g) \Rightarrow \frac{O J}{O C} = \frac{O P}{O M} \Rightarrow O J . O M = O C . O P \\ \Rightarrow O J .2 O M = O C .2 O P \Rightarrow O J . O I = O C . O C = R^{2} \end{array}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ (1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn ${(x_{1} - m)}^{2} + x_{2} = m + 2$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x_{2 $\Leftrightarrow Δ' = {(m + 1)}^{2} - m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 2 m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{2}$}

Theo định lý Viét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ x_{1} x_{2} = m^{2} \end{cases}$

Có $(2) \Leftrightarrow x_{1}^{2} - 2 x_{1} m + m^{2} + x_{2} = m + 2 \Leftrightarrow x_{1} (x_{1} - 2 m) + m^{2} + x_{2} = m + 2$

Thay $x_{1} - 2 m = 2 - x_{2}; m^{2} = x_{1} x_{2}$ vào ta có $x_{1} (2 - x_{2}) + x_{1} x_{2} + x_{2} = m + 2 \Leftrightarrow 2 x_{1} + x_{2} = m + 2$

Ta có hệ $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ 2 x_{1} + x_{2} = m + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - m \\ x_{2} = 3 m + 2 \end{cases} \Rightarrow m^{2} = x_{1} x_{2} = - m (3 m + 2) \Rightarrow 4 m^{2} + 2 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - \frac{1}{2} \end{array}$ (thỏa mãn)

+ Với m = 0: $(1) \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 0 \\ x_{2} = 2 \end{array}$ (thỏa mãn đề bài)

+ Với $m = - \frac{1}{2} : (1) \Leftrightarrow x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn đề bài)

Vậy m = 0 hoặc m = -1/2 là tất cả các giá trị m cần tìm.

Câu 2

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh AH = 2OM

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi F là điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF là đường kính của (O)

Ta có ACF = ABF = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ CF , AB ⊥ BF

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ CF // BH, BF // HC

Suy ra BHCF là hình bình hành ⇒ Trung điểm M của BC cũng là trung điểm của HF.

⇒ OM là đường trung bình của ∆ AHF ⇒ AH = 2OM

Câu 3