Cho tam giác ABC có các góc $\hat{A B C}$ và góc $\hat{A C B}$ nhọn, góc $\hat{B A C} = 60^{0}$ . Các đường phân giác trong $B B_{1}; C C_{1}$ của tam giác ABC cắt nhau tại I.
2) Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác $B C_{1} I$ . Chứng minh tứ giác $C K I B_{1}$ nội tiếp.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 câu hình học tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

2) Vì tứ giác $B C_{1} I K$ nội tiếp nên $\hat{B I C_{1}} = \hat{B K C_{1}} = 60^{o}$ (góc nội tiếp cùng chắn $B C_{1})$ và $\hat{BIK} = \hat{B C_{1} K}$ (góc nội tiếp cùng chắn BK).

Xét tam giác $∆$ ABC, ta có:

$\hat{K C B_{1}} = 180^{o} - \hat{B A C} - \hat{A B C} = 180^{o} - 60^{o} - \hat{A B C} = 120^{o} - \hat{A B C}$

Xét tam giác $∆ B C_{1} K$ , ta có:

$\hat{B I K} = \hat{B C_{1} K} = 180^{o} - \hat{B K C_{1}} - \hat{A B C} = 180^{o} - 60^{o} - \hat{A B C} = 120^{o} - \hat{A B C}$

=> $\hat{K C B_{1}} = \hat{B I K}$ suy ra tứ giác $A C K C_{1}$ nội tiếp (điều phải chứng minh).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC.
AD là đường kính của (O). E thuộc AC sao cho HE//BC.
1) Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên (O)
2) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng BE, CF và IH đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra $\hat{A P D} = 90^{0}$ ,

mà $\hat{A H E} = 90^{0}$ ( $do H E ∥ B C ⊥ H A$ ), nên tứ giác APEH nội tiếp.

Ta có $\hat{A P H} = \hat{A E H}$ (góc nội tiếp)

$= \hat{A C B} (H E ∥ B C) = \hat{A P B}$ (góc nội tiếp)

$\Rightarrow P H \equiv P B$

2). Ta có $H P ⊥ A C \Rightarrow \hat{A E H} = \hat{A H P} = \hat{A E P}$

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra $E I ⊥ A C \Rightarrow E I ∥ H B$

Tương tự $F I ∥ H C; E F ∥ B C \Rightarrow Δ I E F v à Δ H B C$ có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC. Đường phân giác của góc $\hat{B A C}$ cắt (O) tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. Chứng minh rằng EF vuông góc với AC

Xem đáp án

Lời giải

2) Từ AD là phân giác $\hat{B A C}$ suy ra DB=DC vậy DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC.

Từ 1) $Δ B D M ∽ Δ B C F$ , ta có $\frac{D M}{C F} = \frac{B D}{B C}$ .

Vậy ta có biến đổi sau

$\frac{D A}{C F} = \frac{2 D M}{C F} = \frac{2 B D}{B C} = \frac{C D}{C N} = \frac{D E}{C E}$ (3).

Ta lại có góc nội tiếp $\hat{A D E} = \hat{F C E}$ (4).

Từ 3 và 4 ta có:

$Δ E A D ∽ Δ E F C \Rightarrow \hat{E F C} = \hat{E A D} = 90 ° \Rightarrow E F ⊥ A C$

Câu 3