Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước:16, 1156, 111556, … Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phươ...

Ta cần chứng minh mọi số có dạng A=11...1⏟n55...5⏟n−16 đều là số chính phương. Thật vậy, đặt 11...1⏟n=a thì 10n=9a+1 nên:A=11...1⏟n.10n+55...5⏟n−16=a9a+1+5a+1=3a+12

Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành

Câu 1

Chứng minh hằng đẳng thức: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c \\ = {(a + b)}^{3} + c^{3} - 3 a b (a + b + c) \\ = (a + b + c) [{(a + b)}^{2} - c (a + b) + c^{2} - 3 a b] \\ = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) \end{array}$

Câu 2

Cho $x - y = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $x^{3} - y^{3} - 3 x y$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{3} - y^{3} - 3 x y = {(x - y)}^{3} + 3 x y (x - y) - 3 x y$

$\begin{array}{l} = 1 + 3 x y - 3 x y \\ = 1 \end{array}$

Câu 3