Cho 1 đường tròn (O) và điểm P ở bên trong đường tròn. Chứng minh rằng trong tất cả các dây cung đi qua P thì dây cung vuông góc với bán kính P là dây cung ngắn nhất.

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện đầu bài, ta có:

AC là đường trung trực của BD $\Rightarrow O\in AC$

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:

Nối AO cắt đường tròn (O) tại C, lấy I là trung điểm của AC.

Dựng đường thẳng d qua I và vuông góc với AC cắt đường tròn (O) tại B và D.

Khi đó ABCD là hình thoi cần dựng.

Chứng minh: Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình thoi.

Biện luận: Vì OA cắt đường tròn (O) tại 2 điểm $C_1$ và $C_2$ nên bài toán có hai nghiệm hình.