Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển thành đa thức của ${\left(2-3x\right)}^{2n}$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}=1024.$

Đáp án cần chọn là: C

$$\begin{gathered} C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}=1024. \\ \iff 2\left[C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}\right]=2.1024 \end{gathered}$$

$\iff \left(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}\right)+\left(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}\right)=2.1024(*)$

Vì $C_n^k=C_n^{n-k}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{C}_{2n+1}^0=C_{2n+1}^{2n+1}\\ C_{2n+1}^1=C_{2n+1}^{2n}\\ ...\end{array}\right.$

$\Rightarrow C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}=C_{2n+1}^{2n+1}+...+C_{2n+1}^1$

(Nói cách khác: Tổng các C có chỉ số chẵn= Tổng các C có chỉ số lẻ)

$$\begin{gathered} (*)\Rightarrow \left(C_{2n+1}^{2n+1}+...+C_{2n+1}^1\right)+(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n})=2.1024 \\ \iff C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}=2048 \\ \iff {(1+1)}^{2n+1}=2048\iff 2^{2n+1}=2024\iff 2n+1=11\iff n=5 \end{gathered}$$

+) Số hạng tổng quát của khai triển: ${\left(2-3x\right)}^{10} là:\hspace{0.17em}{T}_{k+1}=C_{10}^k.2^{10-k}.{(-3)}^k.x^k$

Số hạng chứa $x^5\Rightarrow x^5=x^k\Rightarrow k=5$

Hệ số của số hạng chứa $x^5$ là $C_{10}^5.2^5.{(-3)}^5=-1959552$.