Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho $MO=\frac{1}{2}MI$. Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=16$ và điểm $A\left(-1;-1;-1\right)$. Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và hai điểm $A\left(1;2;-5\right),B\left(-1;0;2\right)$. Biết điểm M thuộc $\Delta$ sao cho biểu thức $T=\left|MA-MB\right|$ đạt GTLN là: $T_{\max }$. Khi đó, $T_{\max }$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, với a, b, c đều là các số thực dương. Biết mặt cầu (S) cắt 3 mặt phẳng tọa độ $\left(\text{Ox}y\right),\left(Oxz\right),\left(Oyz\right)$ theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{13}$ và mặt cầu (S) đi qua $M\left(2;0;1\right)$. Tính a+b+c

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y+4z-1=0$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z-m=0$. Tìm tất cả m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;-5) cắt mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y-z+10=0$ theo thiết diện là hình tròn có diện tích $3\mathrm{\pi }$. Phương trình của (S) là:

Trong không gian Oxyz, cho măt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y-2z+9=0$ và ba điểm $A\left(2;1;0\right),B\left(0;2;1\right),C\left(1;3;-1\right)$. Điểm $M\in \left(\alpha \right)$ sao cho $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-1;0;2) và đi qua điểm A(0;1;1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng: