Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Lấy I là trung điểm của CD. Hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất là:

Đáp án B

Gọi D là giao điểm của BC và OA

Có OC $\perp$ AC (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)

Xét $∆$OAC vuông tại C, ta có: $O{C}^2 + C{A}^2 = O{A}^2$ (Pytago)

$$\begin{gathered} \Rightarrow A{C}^2 = O{A}^2 - O{C}^2 = 6^2 - 3^2 = 36 – 9 = 27 \\ \Rightarrow AC = 3\sqrt{3} cm \end{gathered}$$

Mà AC = AB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $AB = 3\sqrt{3} cm$

Vì AC = AB; OB = OC nên OA là đường trung trực của BC hay OA $\perp$ BC tại D và D là trung điểm của CB

Xét tam giác vuông OCA có CD là đường cao nên:

$$\begin{gathered} CD = \frac{OC.CA}{OA}=\frac{3.3\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow BC = 2CD = 3\sqrt{3} cm \end{gathered}$$

Vậy chu vi tam giác ABC là: $3\sqrt{3}+ 3\sqrt{3}+ 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}cm$

Đáp án B

Vì I là trung điểm CD

Nên I là tâm của đường tròn đường kính CD

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM và BD = DM

Xét tứ giác ABDC có: AC // BD $\Rightarrow$ ABDC là hình thang

Suy ra IO là đường trung bình của hình thang ABDC

$\Rightarrow$ IO // AC // BD mà AC $\perp$ AB $\Rightarrow$ IO $\perp$ AB (1)

$IO = \frac{AC+BD}{2}=\frac{CM+DM}{2}=\frac{CD}{2} \left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB

Vậy A, C, D đúng, B sai