Cho tam giác ABC, $\hat{A} = {90}^0$, AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H $\in$ BC). Tia phân giác của $\widehat{HAB}$ cắt HB tại D. Tia phân giác của $\widehat{HAC}$ cắt HC tại E. Tính HE?

Đáp án D

Vì MD và ME lần lượt là phân giác của $\widehat{AMB},\widehat{AMC}$ nên $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB},\frac{EA}{EC}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC nên $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ => DE // BC (định lí Talet đảo)

Vì DE // BC nên $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}=\frac{IE}{MC}$ (hệ quả định lí Talet) mà BM = MC nên DI = IE.

Nên cả A, B đều đúng

Đáp án D

Ta có: AB = AC = 10cm

Suy ra ΔABC cân tại A

Có I là giao các đường phân giác của ΔABC

Suy ra AI, BI là đường phân giác của ΔABC

Gọi H là giao của AI và BC

Khi đó ta có AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC (tính chất tam giác cân).

=> H là trung điểm của cạnh BC

$\Rightarrow BH = HC =\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}= 6cm$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$$\begin{gathered} A{H}^2 + B{H}^2 = A{B}^2 \\ \iff A{H}^2 + 6^2 = {10}^2 \\ \iff A{H}^2 = 100 – 36 = 64 \end{gathered}$$

=> AH = 8

Vì BI là phân giác của tam giác ABH nên: $\frac{AB}{BH}=\frac{AI}{IH}=\frac{AH-IH}{IH}$

$\iff \frac{10}{6}=\frac{8-IH}{IH}$ $\iff$10IH = 48 – 6IH $\iff$ IH = 3

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác BHI vuông tại H, ta có:

$$\begin{gathered} B{I}^2= I{H}^2 + B{H}^2 \\ \iff B{I}^2 = 3^2 + 6^2 \\ \iff B{I}^2 = 45\Rightarrow BI =3\sqrt{5} \end{gathered}$$