Cho $\Delta ABC$ có ${90}^0<\widehat{A}<{180}^0$. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N (M, N không trùng với các đỉnh của $\Delta ABC$). Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án A

$\Delta ABM$ vuông tại A (gt) nên BA < BM (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mà $BM=BD+DM\Rightarrow BA<BD+DM$  (1)

Mặt khác, $BE=BE-ME\Rightarrow BA<BE-ME$  (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: $2AB<BD+BE+MD-ME$ (3)

Vì M là trung điểm của AC(gt) $\Rightarrow AM=MC$ (tính chất trung điểm)

Xét tam giác vuông ADM và tam giác vuông CEM có

AM = MC (cmt)

$\widehat{ADM}=\widehat{EMC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ADM=\Delta CEM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow MD=ME$ (hai cạnh tương ứng)   (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow BD+BE>2AB$

Đáp án B

Vì D nằm giữa A và B nên suy ra $AD<AB$. Mà AD và AB lần lượt là hình chiếu của ED và EB trên AB $\Rightarrow ED<EB$ (1) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì E nằm giữa A và C nên suy ra $AE<AC$. Mà AE và AC lần lượt là hình chiếu của EB và BC trên AC $\Rightarrow EB<BC$ (2) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Từ (1), (2) $\Rightarrow ED<EB<BC$