Cho tam giác ABC có $AC=AB$. Đường phân giác AH và đường trung trực của cạnh AB cắt  nhau tại O. Trên cạnh AB, AC lấy lần lượt E và F sao cho $AE=CF$

2: Khi E và F di động thỏa mãn $AE=CF$ thì đường trung trực của EF đi qua điểm cố định nào?

Đáp án C

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên $OA=OB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại O $\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{B_1}$ (tính chất tam giác cân ) (1)

Vì AH là đường phân giác của $\Delta ABC$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (tính chất tia phân giác )      (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{A_2}$

Ta có: $AC=AF+CF$ mà $AE=CF$ (gt) nên $AC=AF+AE$

Mặt khác $AB=AC\left(gt\right); AB=AE+BE$

Do đó $AF=BE$

Xét $\Delta BOE$ và $\Delta AOF$ có:

$\begin{array}{l}BE=AF\left(cmt\right)\\ \widehat{B_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\\ OB=OA\left(cmt\right)\\ \Rightarrow \Delta BOE=\Delta AOF(c.g.c)\end{array}$

Suy ra $OE=OF$ (hai cạnh tương ứng)

Đáp án C

Vì AB là trung trực của HD (gt) $\Rightarrow AD=AH$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Vì AC là trung trực của HE (gt) $\Rightarrow AH=AE$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow AD=AE\Rightarrow \Delta ADE$ cân tại A. Nên A đúng

+) M nằm trên đường trung trực của HD nên $MD=MH$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta AMH$ có:

$\begin{array}{l}MD=MH\left(cmt\right)\\ AD=AH\left(cmt\right)\\ AMchung\end{array}$

$\Rightarrow \Delta AMD=\Delta AMH(c.c.c)\Rightarrow \widehat{MDA}=\widehat{MHA}$ (hai góc tương ứng)

Lại có, N là đường trung trực của HE nên $NH=NE$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

+) Xét $\Delta AHN$ và $\Delta AEN$ có:

AN cạnh chung

$\begin{array}{l}AH=AE\left(cmt\right)\\ NH=NE\left(cmt\right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta AHN=\Delta AEN(c.c.c)\Rightarrow \widehat{NHA}=\widehat{NEA}$ (2 cạnh tương ứng)

Mà $\Delta ADE$ cân tại A(cmt) $\Rightarrow \widehat{MDA}=\widehat{NEA}\Rightarrow \widehat{MHA}=\widehat{NHA}$. Vậy HA là đường phân giác của $\widehat{MHN}$