Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì EFGH là hình thoi?

+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // AC; MN = $\frac{1}{2}$AC (1)

Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC nên PQ // AC; PQ = $\frac{1}{2}$AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ => MNPQ là hình bình hành

Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ

Mà MN = $\frac{1}{2}$AC (cmt); MQ = $\frac{1}{2}$BD (do MQ là đường trung bình tam giác ABD)

Suy ra AC = BD

Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD

Đáp án cần chọn là: D

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

AB = AD, $\hat{B}=\hat{D}$; BE = DF

Từ đó suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c)

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_4}$ (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của $\hat{A}$ 

=> $\widehat{A_2}=\widehat{A_3}$ (1)

Do đó AO là phân giác của $\widehat{HAG}$

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Đáp án cần chọn là: A