Cho tam giác ABC ( $\hat{A}$ < 90⁰). Về phía ngoài của tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE, ACFG. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DF. Chọn câu đúng.

Xét ΔADE có: AM = MD; DQ = EQ nên MQ là đường trung bình của ΔADE

=> MQ // AE, MQ = $\frac{1}{2}$AE

Xét ΔAEF có: AN = NF; FP = PE (giả thiết) nên NP là đường trung bình của ΔAEF.

=> NP // AE , NP = $\frac{1}{2}$AE

Suy ra MQ // NP (cùng // AE) và MQ = NP (= $\frac{1}{2}$AE)

Tứ giác MNPQ có: MQ // NP và MQ = NP nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để MNPQ là hình chữ nhật thì MN ⊥  PQ (1)

Ta có: NP // AE (chứng minh trên) (2)

Ta lại có: AM = MD, AN = NF (gt) => MN // DF

Mặt khác: AD = DB, AF = FC (gt) => DF // BC

Vậy MN // BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AE ⊥  BC

Mà BE = EC (gt)

Do đó ΔABC cân tại A (do AE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)

Đáp án cần chọn là: A

Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AB (gt)

Q là trung điểm của AD (gt)

=> QM là đường trung bình của tam giác ABD. (định lý)

Do đó QM // BD và QM = $\frac{1}{2}$BD (1)

Tương tự ta cũng có NP là đường trung bình của tam giác BCD.

=> $\left\{\begin{array}{l}NP//BD\\ NP=\frac{1}{2}BD\end{array}\right.$

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Tương tự ta cũng có MN là đường trung bình của tam giác BAC nên MN // AC và MN = $\frac{1}{2}$AC

Để hình bình hành MNPQ là hình vuông

=> $\left\{\begin{array}{l}MN\perp NP\\ MN=NP\end{array}\right.$

+ Để MN ⊥ NP => AC ⊥ BD (vì MN // AC, NP // BD)

+ Để MN = NP => AC = BD (vì MN = $\frac{1}{2}$AC, NP = $\frac{1}{2}$BD)

Vậy điều kiện cần để MNPQ là hình vuông là BD = AC; AC ⊥ BD

Đáp án cần chọn là: D