4 câu Trắc nghiệm Toán 8: Ôn tập Chương 1 Hình học có đáp án (Vận dụng)

Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AB (gt)

Q là trung điểm của AD (gt)

=> QM là đường trung bình của tam giác ABD. (định lý)

Do đó QM // BD và QM = $\frac{1}{2}$BD (1)

Tương tự ta cũng có NP là đường trung bình của tam giác BCD.

=> $\left\{\begin{array}{l}NP//BD\\ NP=\frac{1}{2}BD\end{array}\right.$

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Tương tự ta cũng có MN là đường trung bình của tam giác BAC nên MN // AC và MN = $\frac{1}{2}$AC

Để hình bình hành MNPQ là hình vuông

=> $\left\{\begin{array}{l}MN\perp NP\\ MN=NP\end{array}\right.$

+ Để MN ⊥ NP => AC ⊥ BD (vì MN // AC, NP // BD)

+ Để MN = NP => AC = BD (vì MN = $\frac{1}{2}$AC, NP = $\frac{1}{2}$BD)

Vậy điều kiện cần để MNPQ là hình vuông là BD = AC; AC ⊥ BD

Đáp án cần chọn là: D

Xét ΔADE có: AM = MD; DQ = EQ nên MQ là đường trung bình của ΔADE

=> MQ // AE, MQ = $\frac{1}{2}$AE

Xét ΔAEF có: AN = NF; FP = PE (giả thiết) nên NP là đường trung bình của ΔAEF.

=> NP // AE , NP = $\frac{1}{2}$AE

Suy ra MQ // NP (cùng // AE) và MQ = NP (= $\frac{1}{2}$AE)

Tứ giác MNPQ có: MQ // NP và MQ = NP nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để MNPQ là hình chữ nhật thì MN ⊥  PQ (1)

Ta có: NP // AE (chứng minh trên) (2)

Ta lại có: AM = MD, AN = NF (gt) => MN // DF

Mặt khác: AD = DB, AF = FC (gt) => DF // BC

Vậy MN // BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AE ⊥  BC

Mà BE = EC (gt)

Do đó ΔABC cân tại A (do AE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)

Đáp án cần chọn là: A

Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A dựng tam giác BHC vuông cân đỉnh B

Xét tam giác BHD và tam giác BCA có:

DB = BA (vì ADBE là hình vuông)

 $\widehat{DBH}= \widehat{ABC}$ (vì cùng phụ với góc HBA)

BH = BC (vì tam giác BHC vuông cân đỉnh B)

Do đó: ΔBHD = ΔBCA (c.g.c), suy ra DH = AC, $\widehat{BHD}=\widehat{BCA}$

AE cắt HD tại K, cắt BH tại I.

Xét tam giác IHK và tam giác ICB có:

 $\widehat{HIK}=\widehat{CIB}$ (đối đỉnh), $\widehat{BHD}=\widehat{BCA}$, do đó $\widehat{HKI}=\widehat{IBC}$ = 90⁰ => KC ⊥ DH

Mặt khác KC ⊥ CF, do đó DH // CF

Ta có DH = CF (=AC) và DH // CF nên DHCF là hình bình hành

Mà M là trung điểm của DF nên M là trung điểm của HC, suy ra tam giác MBC vuông cân đỉnh M

Đáp án cần chọn là: A

Vẽ EF ⊥ AM (F Є AB), EG ⊥ AB (G Є AB).

Tứ giác AGED là hình chữ nhật (vì $\hat{G}=\hat{A}=\hat{D}$ = 90⁰), suy ra GE = AD

Lại thấy $\widehat{FEG}=\widehat{MAB}$ (vì cùng phụ với $\widehat{AFE}$)

Xét ΔGEF và ΔBAM có: $\widehat{EGF}=\widehat{ABM}$ = 90⁰; GE = AB (= CD); $\widehat{FEG}=\widehat{MAB}$

Do đó ΔGEF = ΔBAM (g.c.g) suy ra EF = AM

Tam giác AEF có AM là đường phân giác và là đường cao nên tam giác AEF cân đỉnh A

Ta có AM là đường trung trực của EF, nên ME = MF

Xét ba điểm M, E, F ta có: EF ≤ ME + MF => EF ≤ 2ME.

Do đó AM ≤ 2ME

Đáp án cần chọn là: C