Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông ($a>x>0)$ . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất

Lời giải:

Đặt $h\left(x\right)=3x^4-4x^3-12x^2+m$ ta có: $h\text{'}\left(x\right)=12x^3-12x^2-24x=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Ta thấy  $m-32<m-5<m<m+27$

TH1:  $m-32\ge 0\iff m\ge 32$

$\Rightarrow M=m+27=\frac{71}{2}\iff m=\frac{17}{2}$ (ktm)

TH2:  $m-32<0\le m-5\iff 5\le m<32$

$\Rightarrow M\in \left\{32-m;m+27\right\}$

Nếu $m+27\ge 32-m\iff 2m\ge 5\iff m\ge \frac{5}{2}$, kết hợp điều kiện $\Rightarrow 5\le m<32$, khi đó:

$M=m+27=\frac{71}{2}\iff m=\frac{17}{2}$ (tm)

Nếu $m+27<32-m\iff m<\frac{5}{2}$, kết hợp điều kiện  $\Rightarrow m\in \varnothing$

TH3:  $m-5<0\le m\iff 0\le m<5$

 $\Rightarrow M\in \left\{32-m;m+27\right\}$  

Nếu $\Rightarrow M\in \left\{32-m;m+27\right\}$, kết hợp điều kiện $\Rightarrow \frac{5}{2}\le m<5$, khi đó:

$M=m+27=\frac{71}{2}\iff m=\frac{17}{2}$ (ktm)

Nếu $m+27<32-m\iff m<\frac{5}{2}$, kết hợp điều kiện  $\Rightarrow 0\le m<\frac{5}{2}$, khi đó

$M=32-m=\frac{71}{2}\iff m=-\frac{7}{2}$ (ktm)

TH4: $m+27\le 0\iff m\le -27$, khi đó $M=32-m=\frac{71}{2}\iff m=-\frac{7}{2}$ (tm)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $m\in \left\{\frac{17}{2};-\frac{7}{2}\right\}$, tổng các giá trị của m là:

$\frac{17}{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{10}{2}=5$

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Đặt $t=1-2\cos x$. Với $x\in \left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ thì  $\cos x\in \left[-1;1\right]\Rightarrow 1-2\cos x\in \left[-1;3\right]\Rightarrow t\in \left[-1;3\right]$

Khi đó ta có: $y=f\left(t\right)$ với $t\in \left[-1;3\right]$

Quan sát đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)$ trên đoạn $\left[-1;3\right]$ ta thấy GTLN của hàm số là 2, GTNN của hàm số là  $\frac{-3}{2}$

$\Rightarrow M=2,m=-\frac{3}{2}\Rightarrow M+m=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: A