Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(1-2\cos x\right)$ trên $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$. Giá trị của $M+m$ bằng:

Lời giải:

Đặt $h\left(x\right)=3x^4-4x^3-12x^2+m$ ta có: $h\text{'}\left(x\right)=12x^3-12x^2-24x=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Ta thấy  $m-32<m-5<m<m+27$

TH1:  $m-32\ge 0\iff m\ge 32$

$\Rightarrow M=m+27=\frac{71}{2}\iff m=\frac{17}{2}$ (ktm)

TH2:  $m-32<0\le m-5\iff 5\le m<32$

$\Rightarrow M\in \left\{32-m;m+27\right\}$

Nếu $m+27\ge 32-m\iff 2m\ge 5\iff m\ge \frac{5}{2}$, kết hợp điều kiện $\Rightarrow 5\le m<32$, khi đó:

$M=m+27=\frac{71}{2}\iff m=\frac{17}{2}$ (tm)

Nếu $m+27<32-m\iff m<\frac{5}{2}$, kết hợp điều kiện  $\Rightarrow m\in \varnothing$

TH3:  $m-5<0\le m\iff 0\le m<5$

 $\Rightarrow M\in \left\{32-m;m+27\right\}$  

Nếu $\Rightarrow M\in \left\{32-m;m+27\right\}$, kết hợp điều kiện $\Rightarrow \frac{5}{2}\le m<5$, khi đó:

$M=m+27=\frac{71}{2}\iff m=\frac{17}{2}$ (ktm)

Nếu $m+27<32-m\iff m<\frac{5}{2}$, kết hợp điều kiện  $\Rightarrow 0\le m<\frac{5}{2}$, khi đó

$M=32-m=\frac{71}{2}\iff m=-\frac{7}{2}$ (ktm)

TH4: $m+27\le 0\iff m\le -27$, khi đó $M=32-m=\frac{71}{2}\iff m=-\frac{7}{2}$ (tm)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $m\in \left\{\frac{17}{2};-\frac{7}{2}\right\}$, tổng các giá trị của m là:

$\frac{17}{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{10}{2}=5$

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có:  $y=x-\sqrt{4-x^2}$

TXĐ:  $D=\left[-2;2\right]$

$\Rightarrow y\text{'}=1+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\iff y\text{'}=0$   $\iff x+\sqrt{4-x^2}=0\iff \sqrt{4-x^2}=-x$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ x^2=4-x^2\end{array}\right.\iff \iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ x^2=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ \left[\begin{array}{c}x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=-\sqrt{2}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}y\left(2\right)=2\\ y\left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}\\ y\left(-2\right)=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}M=\underset{\left[-2;2\right]}{\max }y=y\left(2\right)=2\\ m=\underset{\left[-2;2\right]}{\max }y=y(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow m+m=2-2\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B