Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x 0<x≠1 thỏa mãn alogbx=blogax2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=ln2a+ln2b−lnab. A. 1−334 B. e2 C. 14 D. −3+2212

Đáp án DCó 1<a,b,0<x≠1Có alogbx=blogax2⇔alogba.logax=b2logax⇔alogax.logba=b2logax⇔xlogba=x2logab⇔logba=2logab⇔logba=21logba⇔logba2=2⇔logba=2 (do 1<a,b nên logba>0) ⇔a=b2.Có P=ln2a+ln2b−ln(ab)=lnb22+ln2b−lnb2b.=2ln2b+ln2b−2+1lnb=3ln2b−2+1lnb.Đặt t=lnb, t>0 (do b>1).Xét hàm số y=ft=3t2−2+1t, với t>0.Có f't=6t−2+1, f't=0⇔6t−2+1=0⇔t=2+16>0Bảng biến thiênDựa vào bảng biến thiên có minP=min0;+∞ft=−3+2212 khi t=2+16Vậy minP=−3+2212

Câu hỏi:

22/08/2021 3,906

Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x $(0 < x \neq 1)$ thỏa mãn $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b)$ .

$A . \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{4}$

$B . \frac{e}{2}$

$C . \frac{1}{4}$

$D . - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Có $1 < a, b, 0 < x \neq 1$

Có $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}} \Leftrightarrow a^{\log_{b} a . \log_{a} x} = b^{2 \log_{a} x} \Leftrightarrow a^{\log_{a} x . \log_{b} a} = b^{2 \log_{a} x}$

$\Leftrightarrow x^{\log_{b} a} = x^{2 \log_{a} b} \Leftrightarrow \log_{b} a = 2 \log_{a} b \Leftrightarrow \log_{b} a = 2 \frac{1}{\log_{b} a}$

$\Leftrightarrow {(\log_{b} a)}^{2} = 2 \Leftrightarrow \log_{b} a = \sqrt{2}$ (do 1<a,b nên $\log_{b} a > 0$ ) $\Leftrightarrow a = b^{\sqrt{2}}$ .

Có $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b) = {(\ln b^{\sqrt{2}})}^{2} + \ln^{2} b - \ln (b^{\sqrt{2}} b)$ .

$= 2 \ln^{2} b + \ln^{2} b - (\sqrt{2} + 1) \ln b = 3 \ln^{2} b - (\sqrt{2} + 1) \ln b .$

Đặt t=lnb, t>0 (do b>1).

Xét hàm số $y = f (t) = 3 t^{2} - (\sqrt{2} + 1) t$ , với t>0.

Có $f^{'} (t) = 6 t - (\sqrt{2} + 1)$ , $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 6 t - (\sqrt{2} + 1) = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{\sqrt{2} + 1}{6} > 0$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có $\min P = \min_{(0; + \infty)} f (t) = - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$ khi $t = \frac{\sqrt{2} + 1}{6}$

Vậy $\min P = - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt như hình bên. Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và bằng h. Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng $\frac{1}{24}$ chiều cao hình trụ. Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất. Tính độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h

$A . \frac{h}{8}$

$B . \frac{3 h}{8}$

$C . \frac{h}{2}$

$D . \frac{h}{4}$

Lời giải

Đáp án C

Thể tích chất lỏng $V = π r^{2} . \frac{1}{24} h = \frac{1}{24} π r^{2} h$ .

Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là $V^{'} = \frac{1}{3} π {r^{'}}^{2} h^{'}$ .

Mà $\frac{r^{'}}{r} = \frac{h^{'}}{h} \Rightarrow r^{'} = \frac{h^{'}}{h} . r$ . Do đó $V^{'} = \frac{1}{3} π {(\frac{h^{'}}{h} . r)}^{2} h^{'} = \frac{1}{3} π r^{2} . \frac{{h^{'}}^{3}}{h^{2}}$

Theo bài ra, $V^{'} = V \Leftrightarrow \frac{1}{3} π r^{2} . \frac{{h^{'}}^{3}}{h^{2}} = \frac{1}{24} π r^{2} h \Leftrightarrow {h^{'}}^{3} = \frac{1}{8} h^{3} \Leftrightarrow h^{'} = \frac{h}{2}$

Câu 2

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' điểm M là thuộc cạnh A'B' sao cho A'B'=3A'M. Đường thẳng BM cắt đường thẳng AA' tại F, và đường thẳng CF cắt đường thẳng A'C' tại G. Tính tỉ số thể tích khối chóp FA'MG và thể tích khối đa diện lồi GMB'C'CB.

$A . \frac{1}{28}$

$B . \frac{1}{11}$

$C . \frac{3}{22}$

$D . \frac{1}{27}$

Lời giải

Đáp án A

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C', $V_{1}$ là thể tích khối chóp FA'MG, $V_{2}$ là thể tích khối đa diện lồi GMB'C'CB.

$A^{'} M / / A B \Rightarrow \frac{F A^{'}}{F A} = \frac{F M}{F B} = \frac{A^{'} M}{A B} = \frac{1}{3}$ ;

$A^{'} G / / A C \Rightarrow \frac{F G}{F C} = \frac{F A^{'}}{F A} = \frac{1}{3}$ ;

$\Rightarrow \frac{V_{F A^{'} M G}}{V_{F A B C}} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \Rightarrow V_{1} = \frac{1}{27} V_{F A B C}$

$V_{F A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} d (F, (A B C)) = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . \frac{3}{2} d (A^{'}, (A B C)) = \frac{1}{2} V$

$\Rightarrow V_{1} = \frac{1}{27} . \frac{1}{2} V = \frac{1}{54} V$

$V_{2} = V - V_{A' M G A B C} = V - (V_{F A B C} - V_{F A^{'} M G})$

$= V - (\frac{1}{2} V - \frac{1}{54} V) = \frac{14}{27} V$

Nên: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{28}$

Câu 3

Cho hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a. Diện tích xung quanh hình trụ là

$A . \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$

$B . π a^{2}$

$C . 2 π a^{2}$

$D . π a^{2} \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu

A. 300

B. 310

C. 320

D. 330

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên BB' hợp với đáy (ABC) góc 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') là

$A . \frac{3 a}{2 \sqrt{13}}$

$B . \frac{a}{\sqrt{13}}$

$C . \frac{2 a}{\sqrt{13}}$

$D . \frac{3 a}{\sqrt{13}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị trong hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (\sqrt{4 - x^{2}}) = m$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $[- \sqrt{2}; \sqrt{3})$ là

$A . (- 1; 3]$

$B . (- 1; f (\sqrt{2})]$

$C . [- 1; 3]$

$D . [- 1; f (\sqrt{2})]$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x $(0 < x \neq 1)$ thỏa mãn $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b)$ .

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị trong hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (\sqrt{4 - x^{2}}) = m$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $[- \sqrt{2}; \sqrt{3})$ là