Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x 0<x≠1 thỏa mãn alogbx=blogax2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=ln2a+ln2b−lnab. A. 1−334 B. e2 C. 14 D. −3+2212

Đáp án DCó 1<a,b,0<x≠1Có alogbx=blogax2⇔alogba.logax=b2logax⇔alogax.logba=b2logax⇔xlogba=x2logab⇔logba=2logab⇔logba=21logba⇔logba2=2⇔logba=2 (do 1<a,b nên logba>0) ⇔a=b2.Có P=ln2a+ln2b−ln(ab)=lnb22+ln2b−lnb2b.=2ln2b+ln2b−2+1lnb=3ln2b−2+1lnb.Đặt t=lnb, t>0 (do b>1).Xét hàm số y=ft=3t2−2+1t, với t>0.Có f't=6t−2+1, f't=0⇔6t−2+1=0⇔t=2+16>0Bảng biến thiênDựa vào bảng biến thiên có minP=min0;+∞ft=−3+2212 khi t=2+16Vậy minP=−3+2212

Câu hỏi:

22/08/2021 3,499

Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x $(0 < x \neq 1)$ thỏa mãn $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b)$ .

$A . \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{4}$

$B . \frac{e}{2}$

$C . \frac{1}{4}$

$D . - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Có $1 < a, b, 0 < x \neq 1$

Có $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}} \Leftrightarrow a^{\log_{b} a . \log_{a} x} = b^{2 \log_{a} x} \Leftrightarrow a^{\log_{a} x . \log_{b} a} = b^{2 \log_{a} x}$

$\Leftrightarrow x^{\log_{b} a} = x^{2 \log_{a} b} \Leftrightarrow \log_{b} a = 2 \log_{a} b \Leftrightarrow \log_{b} a = 2 \frac{1}{\log_{b} a}$

$\Leftrightarrow {(\log_{b} a)}^{2} = 2 \Leftrightarrow \log_{b} a = \sqrt{2}$ (do 1<a,b nên $\log_{b} a > 0$ ) $\Leftrightarrow a = b^{\sqrt{2}}$ .

Có $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b) = {(\ln b^{\sqrt{2}})}^{2} + \ln^{2} b - \ln (b^{\sqrt{2}} b)$ .

$= 2 \ln^{2} b + \ln^{2} b - (\sqrt{2} + 1) \ln b = 3 \ln^{2} b - (\sqrt{2} + 1) \ln b .$

Đặt t=lnb, t>0 (do b>1).

Xét hàm số $y = f (t) = 3 t^{2} - (\sqrt{2} + 1) t$ , với t>0.

Có $f^{'} (t) = 6 t - (\sqrt{2} + 1)$ , $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 6 t - (\sqrt{2} + 1) = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{\sqrt{2} + 1}{6} > 0$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có $\min P = \min_{(0; + \infty)} f (t) = - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$ khi $t = \frac{\sqrt{2} + 1}{6}$

Vậy $\min P = - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt như hình bên. Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và bằng h. Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng $\frac{1}{24}$ chiều cao hình trụ. Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất. Tính độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h

$A . \frac{h}{8}$

$B . \frac{3 h}{8}$

$C . \frac{h}{2}$

$D . \frac{h}{4}$

Lời giải

Đáp án C

Thể tích chất lỏng $V = π r^{2} . \frac{1}{24} h = \frac{1}{24} π r^{2} h$ .

Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là $V^{'} = \frac{1}{3} π {r^{'}}^{2} h^{'}$ .

Mà $\frac{r^{'}}{r} = \frac{h^{'}}{h} \Rightarrow r^{'} = \frac{h^{'}}{h} . r$ . Do đó $V^{'} = \frac{1}{3} π {(\frac{h^{'}}{h} . r)}^{2} h^{'} = \frac{1}{3} π r^{2} . \frac{{h^{'}}^{3}}{h^{2}}$

Theo bài ra, $V^{'} = V \Leftrightarrow \frac{1}{3} π r^{2} . \frac{{h^{'}}^{3}}{h^{2}} = \frac{1}{24} π r^{2} h \Leftrightarrow {h^{'}}^{3} = \frac{1}{8} h^{3} \Leftrightarrow h^{'} = \frac{h}{2}$

Câu 2

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' điểm M là thuộc cạnh A'B' sao cho A'B'=3A'M. Đường thẳng BM cắt đường thẳng AA' tại F, và đường thẳng CF cắt đường thẳng A'C' tại G. Tính tỉ số thể tích khối chóp FA'MG và thể tích khối đa diện lồi GMB'C'CB.

$A . \frac{1}{28}$

$B . \frac{1}{11}$

$C . \frac{3}{22}$

$D . \frac{1}{27}$

Lời giải

Đáp án A

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C', $V_{1}$ là thể tích khối chóp FA'MG, $V_{2}$ là thể tích khối đa diện lồi GMB'C'CB.

$A^{'} M / / A B \Rightarrow \frac{F A^{'}}{F A} = \frac{F M}{F B} = \frac{A^{'} M}{A B} = \frac{1}{3}$ ;

$A^{'} G / / A C \Rightarrow \frac{F G}{F C} = \frac{F A^{'}}{F A} = \frac{1}{3}$ ;

$\Rightarrow \frac{V_{F A^{'} M G}}{V_{F A B C}} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \Rightarrow V_{1} = \frac{1}{27} V_{F A B C}$

$V_{F A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} d (F, (A B C)) = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . \frac{3}{2} d (A^{'}, (A B C)) = \frac{1}{2} V$

$\Rightarrow V_{1} = \frac{1}{27} . \frac{1}{2} V = \frac{1}{54} V$

$V_{2} = V - V_{A' M G A B C} = V - (V_{F A B C} - V_{F A^{'} M G})$

$= V - (\frac{1}{2} V - \frac{1}{54} V) = \frac{14}{27} V$

Nên: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{28}$

Câu 3

Cho hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a. Diện tích xung quanh hình trụ là

$A . \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$

$B . π a^{2}$

$C . 2 π a^{2}$

$D . π a^{2} \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu

A. 300

B. 310

C. 320

D. 330

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên BB' hợp với đáy (ABC) góc 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') là

$A . \frac{3 a}{2 \sqrt{13}}$

$B . \frac{a}{\sqrt{13}}$

$C . \frac{2 a}{\sqrt{13}}$

$D . \frac{3 a}{\sqrt{13}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị trong hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (\sqrt{4 - x^{2}}) = m$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $[- \sqrt{2}; \sqrt{3})$ là

$A . (- 1; 3]$

$B . (- 1; f (\sqrt{2})]$

$C . [- 1; 3]$

$D . [- 1; f (\sqrt{2})]$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x 0<x≠1 thỏa mãn alogbx=blogax2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=ln2a+ln2b−lnab.

Cho hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a. Diện tích xung quanh hình trụ là

Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên BB' hợp với đáy (ABC) góc 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') là

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị trong hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f4−x2=m có nghiệm thuộc nửa khoảng −2;3 là

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x $(0 < x \neq 1)$ thỏa mãn $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b)$ .

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị trong hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (\sqrt{4 - x^{2}}) = m$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $[- \sqrt{2}; \sqrt{3})$ là