Cho hình chóp đều $S.ABC$  có độ dài cạnh đáy bằng a  , cạnh bên bằng$a\sqrt{3}$ . Gọi $O$  là tâm của đáy $ABC$,  $d_1$là khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $d_2$ là khoảng cách từ O đến mặt phẳng$\left(SBC\right)$ . Tính $d=d_1+d_2$. 

Phương pháp giải:

- Gọi M là trung điểm của BC, xác định $d(A;\left(SBC\right))$.

- Sử dụng định lí Pytago và công thức diện tích tam giác, tính $d(A;\left(SBC\right))$.

- Sử dụng công thức: $AO\cap \left(SBC\right)=\left\{M\right\}\Rightarrow \frac{d(O;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}=\frac{OM}{AM}$, so sánh $d(O;\left(SBC\right))$ và $d(A;\left(SBC\right))$.

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: $\{\begin{array}{l}BC\perp AM\\ BC\perp SM\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAM\right)$.

Trong $\left(SAM\right)$ kẻ $AH\perp SM(H\in SM)$ ta có: $\{\begin{array}{l}AH\perp SM\\ AH\perp BC(AH\subset \left(SAM\right))\end{array}\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)$.

$\Rightarrow d_1=d(A;\left(SBC\right))=AH$

Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AO=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAO$ có: $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{3a^2-\frac{a^3}{3}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SBM$ có: $SM=\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{3a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}$.

Ta có: $S_{\Delta SAM}=\frac{1}{2}SO.AM=\frac{1}{2}AH.SM$ $\Rightarrow AH=\frac{SO.AM}{SM}=\frac{\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{11}}{2}}=\frac{2a\sqrt{22}}{11}$.

$\Rightarrow d_1=\frac{2a\sqrt{22}}{11}$.

Ta có:

$AO\cap \left(SBC\right)=\left\{M\right\}\Rightarrow \frac{d(O;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}=\frac{OM}{AM}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow d(O;\left(SBC\right))=\frac{1}{3}d(A;\left(SBC\right))=\frac{2a\sqrt{22}}{33}$.

$\Rightarrow d_2=\frac{2a\sqrt{22}}{33}$.

Vậy $d=d_1+d_2=\frac{2a\sqrt{22}}{11}+\frac{2a\sqrt{22}}{33}=\frac{8a\sqrt{22}}{33}$.