Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có cạnh $BC=2a$ , góc giữa hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$  và $\left(A^{\text{'}}BC\right)$  bằng ${60}^0$ . Biết diện tích tam giác $A^{\text{'}}BC$  bằng $2a^2$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

Phương pháp giải:

Ta có hình vẽ, khi đó chiến sĩ ở vị trí A, mục tiêu ở vị trí C.

Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC.

Ta có: $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{1000}^2-{100}^2}=300\sqrt{11}\left(m\right).$

Đặt $BD=x\left(m\right),(0<x<300\sqrt{11}).$

⇒ Quãng đường chiến sĩ phải bơi là: $AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{x^2+{100}^2}\left(m\right).$

Quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là: $CD=BC-BD=300\sqrt{11}-x\left(m\right).$

⇒ Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là: $AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{x^2+{100}^2}\left(m\right).$ 

Tìm x để $t\left(x\right)$ đạt $Min$ rồi suy ra quãng đường chiễn sĩ phải bơi.

Giải chi tiết:

Gọi vận tốc của chiến sĩ khi bơi là $a(m/s),(a>0).$

⇒ Vận tốc của chiến sĩ khi chạy bộ là: $3a(m/s).$

Ta có hình vẽ, khi đó chiến sĩ ở vị trí A, mục tiêu ở vị trí C.

Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC.

Ta có: $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{1000}^2-{100}^2}=300\sqrt{11}\left(m\right).$

Đặt $BD=x\left(m\right),(0<x<300\sqrt{11}).$

⇒ Quãng đường chiến sĩ phải bơi là: $AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{x^2+{100}^2}\left(m\right).$

Quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là: $CD=BC-BD=300\sqrt{11}-x\left(m\right).$

⇒ Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là: $t=\frac{AD}{a}+\frac{DC}{3a}=\frac{\sqrt{x^2+{100}^2}}{a}+\frac{300\sqrt{11}-x}{3a}$

$=\frac{1}{3a}(3\sqrt{x^2+{100}^2}+300\sqrt{11}-x)$

Xét hàm số: $f\left(x\right)=3\sqrt{x^2+{100}^2}-x+300\sqrt{11}$trên $(0;300\sqrt{11})$ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3x}{2\sqrt{x^2+{100}^2}}-1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0$

$\iff 3x=2\sqrt{x^2+{100}^2}\iff 9x^2=4x^2+{4.100}^2$

$\iff 5x^2={4.100}^2$

$\iff x^2=\frac{4}{5}{.100}^2\iff x=\frac{2\sqrt{5}}{5}.100=40\sqrt{5}\left(tm\right)$

⇒ Quãng đường bơi mà chiến sĩ phải bơi để đến được mục tiêu nhanh nhất là:

$AD=\sqrt{x^2+{100}^2}=\sqrt{\frac{4}{5}{.100}^2+{100}^2}$ $=\sqrt{\frac{9}{5}{.100}^2}=60\sqrt{5}m.$