Câu hỏi:

23/04/2022 289

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, B C$ . Điểm I thuộc $S A$ . Biết mặt phẳng $(M N I)$ chia khối chóp $S . A B C D$ thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{13}$ lần phần còn lại. Tính tỉ số $k = \frac{I A}{I S}$ ?

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Điểm I thuộc . (ảnh 1)

Đặt $\frac{S I}{S A} = x (0 < x < 1)$ .

Trong $(A B C D)$ kéo dài $M N$ cắt $A D, C D$ lần lượt tại $P, Q$ .

Trong $(S A D)$ kéo dài $M N$ cắt $S D$ tại E.

Trong $(S C D)$ nối $Q E$ cắt $S C$ tại J.

Khi đó $(I M N)$ cắt hình chóp theo thiết diện là $I M N J E$ .

Mặt phẳng $(I M N)$ chia khối chóp thành hai phần, gọi $V_{1}$ là phần thể tích chứa đỉnh S và $V = V_{S . A B C D}$ .

Khi đó ta có $\frac{V_{1}}{V} = \frac{7}{20}$ .

Ta có: $V_{1} = V_{S . B M N} + V_{S . M N I} + V_{S . I N J} + V_{I J E}$ .

+) $\frac{V_{S . B M N}}{V} = \frac{S_{B M N}}{S_{A B C D}} = \frac{1}{2} . \frac{B M}{B A} . \frac{B N}{B C} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow V_{S . B M N} = \frac{V}{8}$ .

+) $\frac{V_{S . M N I}}{V_{S . M N A}} = \frac{S I}{S A} = x \Rightarrow V_{S . M N I} = x V_{S . M N A}$

$\frac{V_{S . M N A}}{V} = \frac{S_{M N A}}{S_{A B C D}} = \frac{\frac{1}{2} S_{A B N}}{S_{A B C D}} = \frac{1}{8} \Rightarrow V_{S . M N A} = \frac{1}{8} V$

$\Rightarrow V_{S . M N I} = \frac{x}{8} V$ .

+) $\frac{V_{S . I N J}}{V_{S . A N C}} = \frac{S I}{S A} . \frac{S J}{S C}$

Ta có: ${\begin{cases} (I M N) \cap (S A C) = I J \\ (I M N) \cap (A B C D) = M N \\ (S A C) \cap (A B C D) = A C \end{cases}$ , lại có $M N / / A C$ (do MN là đường trung bình của tam giác ABC)

$\Rightarrow I J / / M N \Rightarrow \frac{S I}{S A} = \frac{S J}{S C} = x$ .

$\Rightarrow \frac{V_{S . I N J}}{V_{S . A N C}} = \frac{S I}{S A} . \frac{S J}{S C} = x^{2} \Rightarrow V_{S . I N J} = x^{2} V_{S . A N C}$ .

$\frac{V_{S . A N C}}{V} = \frac{S_{A N C}}{S_{A B C D}} = \frac{\frac{1}{2} S_{A B C}}{A B C D} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S . I N J} = \frac{x^{2}}{4} V$ .

+) $\frac{V_{S . A N C}}{V} = \frac{S_{A N C}}{S_{A B C D}} = \frac{\frac{1}{2} S_{A B C}}{A B C D} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S . I N J} = \frac{x^{2}}{4} V$ .

Dễ dàng chứng minh được $Δ B M N = Δ C Q N (g . c . g) \Rightarrow B M = C Q = \frac{1}{2} C D$ .

$\Rightarrow D Q = 3 C Q = 3 A M \Rightarrow \frac{A M}{D Q} = \frac{P A}{P D} = \frac{1}{3}$ .

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $S A D$ ta có:

$\frac{P A}{P D} . \frac{E D}{E S} . \frac{I S}{I A} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3} . \frac{E D}{E S} . \frac{x}{1 - x} = 1 \Leftrightarrow \frac{E D}{E S} = \frac{3 (1 - x)}{x}$

$\Rightarrow \frac{E D + E S}{E S} = \frac{3 - 2 x}{x} \Rightarrow \frac{S E}{S D} = \frac{x}{3 - 2 x}$

$\Rightarrow \frac{V_{S . I J E}}{V_{S . A C D}} = x^{2} \frac{S E}{S D} = x^{2} . \frac{x}{3 - 2 x} = \frac{x^{3}}{3 - 2 x}$

Mà $V_{S . A C D} = \frac{1}{2} V \Rightarrow V_{S . I J E} = \frac{x^{3}}{6 - 4 x} V$ .

Khi đó ta có: $V_{1} = V_{S . B M N} + V_{S . M N I} + V_{S . I N J} + V_{I J E}$

$= \frac{V}{8} + \frac{x}{8} V + \frac{x^{2}}{4} V + \frac{x^{3}}{6 - 4 x} V$

$= (\frac{1}{8} + \frac{x}{8} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{6 - 4 x}) V$

$\Rightarrow \frac{1}{8} + \frac{x}{8} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{6 - 4 x} = \frac{7}{20}$

Thử đáp án:

Đáp án A: $k = \frac{I A}{I S} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{S I}{S A} = \frac{2}{3}$ ⇒ Loại.

Đáp án B: $k = \frac{I A}{I S} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S I}{S A} = \frac{3}{5}$ ⇒ Thỏa mãn.

Đáp án B

Bình luận

Câu 1:

Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100m.

A. $\frac{200 \sqrt{2}}{3} (m)$

B. $60 \sqrt{5} (m)$

C. $\frac{200 \sqrt{3}}{3} (m)$

D. $75 \sqrt{2} (m)$

Xem đáp án » 23/04/2022 59,155

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A.4

B.2

C.3

D.1

Xem đáp án » 23/04/2022 14,236

Câu 3:

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d : y = (3 m + 1) x + 3 + m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ .

A. $m = \frac{1}{6}$

B. $m = - \frac{1}{6}$

C. $m = \frac{1}{3}$

D. $m = - \frac{1}{3}$

Xem đáp án » 23/04/2022 10,344

Câu 4:

Hàm số $y = | {(x - 1)}^{3} (x + 1) |$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.3

B.1

C.2

D.4

Xem đáp án » 23/04/2022 5,807

Câu 5:

Cho hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1.$ Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên $(- 25; \frac{11}{10}) .$ Tìm M.

A. $M = 1$

B. $M = \frac{1}{2}$

C. $M = 0$

D. $M = \frac{129}{250}$

Xem đáp án » 23/04/2022 4,505

Câu 6:

Khoảng cách giữa hai điểm cực của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 2$ bằng:

A. $2 \sqrt{5}$

B. $2 \sqrt{3}$

C. $3 \sqrt{5}$

D.2

Xem đáp án » 23/04/2022 3,554

Câu 7:

Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.

A. $\frac{126}{1147}$

B. $\frac{252}{1147}$

C. $\frac{26}{1147}$

D. $\frac{12}{1147}$

Xem đáp án » 24/03/2022 3,124

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d : y = (3 m + 1) x + 3 + m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ .

Hàm số $y = | {(x - 1)}^{3} (x + 1) |$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1.$ Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên $(- 25; \frac{11}{10}) .$ Tìm M.

Khoảng cách giữa hai điểm cực của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 2$ bằng:

Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Bình luận

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:y=(3m+1)x+3+m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−3x2−1.

Hàm số y=|(x−1)3(x+1)| có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y=x3−32x2+1. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên (−25;1110). Tìm M.

Khoảng cách giữa hai điểm cực của đồ thị hàm số y=−x3+3x+2 bằng:

Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d : y = (3 m + 1) x + 3 + m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ .

Hàm số $y = | {(x - 1)}^{3} (x + 1) |$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1.$ Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên $(- 25; \frac{11}{10}) .$ Tìm M.

Khoảng cách giữa hai điểm cực của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 2$ bằng: