Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?

Phương pháp giải:

- Tính g'(x).

- Giải phương trình \[g'\left( x \right) = 0\], xác định số nghiệm của phương trình f'(x)=0 dựa vào đồ thị hàm số y=f'(x).

- Lập BXD đạo hàm g'(x) và suy ra các khoảng nghịch biến của hàm số.

- Để hàm số nghịch biến trên (1;2) thì (1;2) phải là con của những khoảng nghịch biến của hàm số.

Giải chi tiết:

Ta có: $g\left(x\right)=f(x+m)\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}(x+m)$.

Cho $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}(x+m)=0\iff [\begin{array}{l}x+m=-1\\ x+m=1\\ x+m=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1-m\\ x=1-m\\ x=3-m\end{array}$.

Ta có \[g'\left( x \right) >0 \Leftrightarrow f'\left( {x + m} \right) >0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < x + m < 1}\\{x + m >3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 - m < x < 1 - m}\\{x >3 - m}\end{array}} \right.\].</></>

BXD g'(x):

Để hàm số g(x) nghịch biến trên (1;2) thì $[\begin{array}{l}2\le -1-m\\ 1-m\le 1<2\le 3-m\end{array}\iff [\begin{array}{l}m\le -3\\ 0\le m\le 1\end{array}$.

Kết hợp điều kiện $m\in [-2021;2021],m\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow m\in [-2021;-3]\cup [0;1],m\in \mathbb{Z}$.

Vậy có 2021 giá trị nguyên của m thỏa mãn hay tập hợp S có 2021 phần tử.

Đáp án C.

Phương pháp giải:

Số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] với f(x) là hàm đa thức = số điểm cực trị của hàm số y=f(x) + số giao điểm (không tính điểm tiếp xúc) của đồ thị hàm số f(x) và trục hoành.

Giải chi tiết:

Xét hàm số $y=|3x^4-8x^3-6x^2+24x-m|$.

Đồ thị hàm số f(x) có nhiều nhất 3 điểm cực trị và cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm.

Do đó để đồ thị hàm số y=|f(x)| có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số f(x) phải cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và có 3 điểm cực trị.

đồ thị hàm số f(x) phải cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (vì khi đó chắc chắn hàm số y=f(x) sẽ có 3 điểm cực trị) ⇒ Phương trình $y=|3x^4-8x^3-6x^2+24x-m|$phải có 4 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số g(\[g\left( x \right) = 3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x\] ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=12x^3-24x^2-12x+24=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\\ x=2\end{array}$.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt $\iff 8<m<13$.

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in S=\{9;10;11;12\}$.

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là $9+10+11+12=42$.

Đáp án D.