Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $m\in [-2021;2021]$ để hàm số $g\left(x\right)=f(x+m)$ nghịch biến trên khoảng (1;2). Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Phương pháp giải:

- Tính g'(x).

- Giải phương trình \[g'\left( x \right) = 0\], xác định số nghiệm của phương trình f'(x)=0 dựa vào đồ thị hàm số y=f'(x).

- Lập BXD đạo hàm g'(x) và suy ra các khoảng nghịch biến của hàm số.

- Để hàm số nghịch biến trên (1;2) thì (1;2) phải là con của những khoảng nghịch biến của hàm số.

Giải chi tiết:

Ta có: $g\left(x\right)=f(x+m)\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}(x+m)$.

Cho $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}(x+m)=0\iff [\begin{array}{l}x+m=-1\\ x+m=1\\ x+m=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1-m\\ x=1-m\\ x=3-m\end{array}$.

Ta có \[g'\left( x \right) >0 \Leftrightarrow f'\left( {x + m} \right) >0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < x + m < 1}\\{x + m >3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 - m < x < 1 - m}\\{x >3 - m}\end{array}} \right.\].</></>

BXD g'(x):

Để hàm số g(x) nghịch biến trên (1;2) thì $[\begin{array}{l}2\le -1-m\\ 1-m\le 1<2\le 3-m\end{array}\iff [\begin{array}{l}m\le -3\\ 0\le m\le 1\end{array}$.

Kết hợp điều kiện $m\in [-2021;2021],m\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow m\in [-2021;-3]\cup [0;1],m\in \mathbb{Z}$.

Vậy có 2021 giá trị nguyên của m thỏa mãn hay tập hợp S có 2021 phần tử.

Đáp án C.