Đề số 3

Phương pháp giải:

Thể tích khối cầu có bán kính $r$ là $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Giải chi tiết:

Thể tích khối cầu có bán kính $r$là $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Đáp án A.

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên của CSN có số hạng đầu $u_1$, công bội q là $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

Giải chi tiết:

Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân có $u_1=1$và $q=2$ là: $S_3=\frac{u_1(1-q^3)}{1-q}=\frac{1.(1-2^3)}{1-2}=7$

Đáp án D

Phương pháp giải:

- Hàm số $y={\log }_{a}x(0<a\ne 1)$ có TXĐ $D=(0;+\infty )$.

+ Khi $a>1$, hàm số đồng biến trên D.

+ Khi 0 < a < 1, hàm số nghịch biến trên D.

- Hàm số $y=a^x(0<a\ne 1)$ có TXĐ $D=(0;+\infty )$.

+ Khi $a>1$, hàm số đồng biến trên D.

+ Khi $0<a<1$, hàm số nghịch biến trên D.

Giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] nên chỉ có đáp án C thỏa mãn, tức là hàm số $y=3^x$

Đáp án C.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức ${\left(\frac{1}{a}\right)}^m=a^{-m}$.

- Giải phương trình mũ dạng $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

Giải chi tiết:

Ta có:

${\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{4x}={\left(\frac{2021}{2020}\right)}^{2x-6}$

$\iff {\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{4x}={\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{6-2x}$

$\iff 4x=6-2x\iff 6x=6\iff x=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1\right\}$.

Đáp án D.

Phương pháp giải:

- Hàm căn thức xác định khi biểu thức trong căn không âm.

- Hàm $y={\log }_{a}f\left(x\right)$xác định khi và chỉ khi $f\left(x\right)$ xác định và $f\left(x\right)>0$.

Giải chi tiết:

Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_3(x^2-2x+3m)}}$có TXĐ là \[\mathbb{R}\] khi và chỉ khi:

$\{\begin{array}{l}{\log }_3(x^2-2x+3m)>0\forall x\in ℝ\\ x^2-2x+3m>0\forall x\in ℝ\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-2x+3m>1\forall x\in ℝ\\ x^2-2x+3m>0\forall x\in ℝ\end{array}$

$\iff x^2-2x+3m>1\forall x\in ℝ\iff x^2-2x-1>-3m\forall x\in ℝ(*)$

Đặt $f\left(x\right)=x^2-2x-1$ ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x-2=0\iff x=1$.

BBT:

Dựa vào BBT và từ (*) ta có $f\left(x\right)>-3m\forall x\in ℝ$$\iff -3m<\underset{ℝ}{min}f\left(x\right)=-2\iff m>\frac{2}{3}$.

Vậy $m\in (\frac{2}{3};+\infty )$.

Đáp án B

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa CSC: Cho dãy số $\left(u_n\right)$là cấp số cộng có công sai d thì \[{u_{n + 1}}\] có công thức là $u_{n+1}=u_n+d\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Giải chi tiết:

Sử dụng định nghĩa CSC: Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng có công sai d thì $u_{n+1}$ có công thức là $u_{n+1}=u_n+d\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Đáp án A

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này tới mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.

- Đổi tính khoảng cách từ chân đường vuông góc với mặt phẳng, sử dụng công thức $A{A}^{\text{'}}\cap \left(P\right)=M\Rightarrow \frac{d(A;\left(P\right))}{d(A^{\text{'}};\left(P\right))}=\frac{AM}{A^{\text{'}}M}$.

- Dựng khoảng cách, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Ta có $AB//CD\Rightarrow AB//\left(SCD\right)\supset SC$$\Rightarrow d(AB;SC)=d(AB;\left(SCD\right))=d(A;\left(SCD\right))$

Mà $AO\cap \left(SCD\right)=\left\{C\right\}\Rightarrow \frac{d(A;\left(SCD\right))}{d(O;\left(SCD\right))}=\frac{AC}{OC}=2$\[ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\]

Gọi M là trung điểm của CD.

Vì OMlà đường trung bình của tam giác $ACD\Rightarrow OM//AD\Rightarrow OM\perp CD$ và $OM=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}CD\perp OM\\ CD\perp SO\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SOM\right)$.

Trong (SOM) kẻ $OH\perp SM(H\in SM)$ ta có: $\{\begin{array}{l}OH\perp SM\\ OH\perp CD(CD\perp \left(SOM\right))\end{array}\Rightarrow OH\perp \left(SCD\right)$.

$\Rightarrow d(O;\left(SCD\right))=OH\Rightarrow d(AB;SC)=2OH$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SOM\] ta có: $OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}}=\frac{a.\frac{a}{2}}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Vậy $d(AB;SC)=2OH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

Đáp án A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình $u_n=21$ tìm n.

Giải chi tiết:

Xét $u_n=21\iff n^2+n+1=21\iff [\begin{array}{l}n=4\left(tm\right)\\ n=-5\left(ktm\right)\end{array}$.

Vậy số 21 là số hạng thứ 4 của dãy.

Đáp án B.