Cho hàm số $y=x^4-2m{x}^2+m$, có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn $\left(\gamma \right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm A, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A.

- Tìm điểm cố định mà Δ đi qua với mọi m.

- Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn $\left(\gamma \right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$.

- Biện luận: Để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right)$theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $d(I;\Delta )$phải lớn nhất. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên tìm GTLN của $d(I;\Delta )$, từ đó tìm m.

Giải chi tiết:

Vì $A\in \left(C\right)$ và A có hoành độ bằng 1 nên ta có $A(1;1-m)$.

Ta có $y^{\text{'}}=4x^3-4mx\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=4-4m$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là: $y=(4-4m)(x-1)+1-m\iff (4-4m)x-y-3+3m=0\left(\Delta \right)$.

Ta có:

\[\left( \Delta \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {4 - 4m} \right)x - y - 3 + 3m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m\]

$\iff (-4x+3)m+4x-y-3=0\forall m$

$\iff \{\begin{array}{l}-4x+3=0\\ 4x-y-3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}\\ y=0\end{array}$

⇒ Đường thẳng Δ luôn đi qua điểm $F(\frac{3}{4};0)\forall m$.

Đường tròn $\left(\gamma \right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$ có tâm $I(1;1)$, bán kính R=2.

Để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right)$theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $d(I;\Delta )$. phải lớn nhất.

Ta có:$d(I;\Delta )\le IF$ (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).

$\Rightarrow d{(I;\Delta )}_{\max }=IF\iff IF\perp \Delta$.

Ta có: $\overrightarrow{IF}=(-\frac{1}{4};-1);\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;4-4m)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{IF}.\overrightarrow{u_{\Delta }}=0\Rightarrow -\frac{1}{4}.1-1.(4-4m)=0\iff m=\frac{17}{16}$.

Vậy để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $m=\frac{17}{16}$.

Đáp án B.