Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=4, BC=2, $SA=4\sqrt{3}$, $\angle SAB=\angle SAC={30}^0$. Gọi $G_1;G_2;G_3$lần lượt là trọng tâm các tam giác $\Delta SBC,\Delta SCA,\Delta SAB$ và T đối xứng với S qua mặt phẳng (ABC). Thể tích khối chóp $T{G}_1{G}_2{G}_3$bằng \[\frac{a}{b}\], với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P=2a-b$.

Phương pháp giải:

- Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh $BC\perp \left(SAM\right)$, từ đó xác định chiều cao hạ từ đỉnh S của khối chóp bằng cách sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

- Xác định tỉ số \[\frac{{d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{{S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\], từ đó suy ra tỉ số $\frac{V_{T.G_1{G}_2{G}_3}}{V_{S.ABC}}$.

- Tính chiều cao của khối chóp, chính là chiều cao của tam giác SAM nhờ vào diện tích tam giác SAM, muốn tính$S_{\Delta SAM}$ ta sử dụng định lí Pytago tính từng cạnh của tam giác sau đó áp dụng công thức He-rong $S_{\Delta SAM}=\sqrt{p(p-SA)(p-AM)(p-SM)}$với p là nửa chu vi tam giác SAM.

- Tính $V_{S.ABC}$, từ đó tính $V_{T.G_1{G}_2{G}_3}$, suy ra \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] và tính P.

Giải chi tiết:

Xét tam giác SAB và $\Delta SAC$có:

SA chung

\[AB = AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right)\]

$\angle SAB=\angle SAC={30}^0\left(gt\right)$

$\Rightarrow \Delta SAB=\Delta SAC(c.g.c)$

$\Rightarrow SB=SC$ (2 cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta SBC$ cân tại S.

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,AC ta có

$\{\begin{array}{l}SM\perp BC\\ AM\perp BC\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAM\right)$.

Trong (SAM) kẻ $SH\perp AM(H\in AM)$ ta có: $\{\begin{array}{l}SH\perp AM\\ SH\perp BC(BC\perp \left(SAM\right))\end{array}\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right)$.

Dễ thấy $\left(G_1{G}_2{G}_3\right)//\left(ABC\right)$ và $\frac{d(S;\left(G_1{G}_2{G}_3\right))}{d(S;\left(ABC\right))}=\frac{S{G}_1}{SM}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow d(S;\left(G_1{G}_2{G}_3\right))=\frac{2}{3}SH$.

\[ \Rightarrow d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right) = 2SH - \frac{2}{3}SH = \frac{4}{3}SH\].

Lại có $\Delta G_1{G}_2{G}_3$ đồng dạng với $\Delta ABC$ theo tỉ số $k=\frac{G_1{G}_2}{AB}=\frac{G_1{G}_2}{MN}.\frac{MN}{AB}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$.

$\Rightarrow S_{\Delta G_1{G}_2{G}_3}=\frac{1}{9}{S}_{\Delta ABC}$

$\Rightarrow \frac{V_{T.G_1{G}_2{G}_3}}{V_{S.ABC}}=\frac{d(T;\left(G_1{G}_2{G}_3\right))}{d(S;\left(ABC\right))}.\frac{S_{\Delta G_1{G}_2{G}_3}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{4}{3}.\frac{1}{9}=\frac{4}{27}$

Xét tam giác vuông \[ABM\] có: $AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AM.BC=\frac{1}{2}.\sqrt{15}.2=\sqrt{15}$.

Xét tam giác SAB có:

$S{B}^2=S{A}^2+A{B}^2-2SA.AB.\cos \angle SAB$

$={\left(4\sqrt{3}\right)}^2+4^2-2.4\sqrt{3}\mathrm{.4.}\cos {30}^0=16$

\[ \Rightarrow SB = 4 = SC\]

Xét tam giác vuông \[SBM\] có $SM=\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.

Gọi là nửa chu vi tam giác SAM ta có $p=\frac{SA+AM+SM}{2}=\frac{4\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{15}}{2}=2\sqrt{3}+\sqrt{15}$.

$\Rightarrow S_{\Delta SAM}=\sqrt{p(p-SA)(p-AM)(p-SM)}=\sqrt{36}=6$.

Lại có $S_{\Delta SAM}=\frac{1}{2}SH.AM\Rightarrow SH=\frac{2S_{\Delta SAM}}{AM}=\frac{2.6}{\sqrt{15}}=\frac{12}{\sqrt{15}}$.

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{12}{\sqrt{15}}.\sqrt{15}=4$.

$\Rightarrow V_{T.G_1{G}_2{G}_3}=\frac{4}{27}{V}_{S.ABC}=\frac{4}{27}.4=\frac{16}{27}$.

$\Rightarrow a=16;b=27$. Vậy $P=2a-b=2.16-27=5$.

Đáp án C.