Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn [0;2π]. A.T=2π B.T=3π4 C.T=π D.T=4π

Phương pháp giải: - Sử dụng công thức sin2x+cos2x=1. - Đặt ẩn phụ t=5sin2x(t≥1), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t. - Giải phương trình tìm t. - Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x=1−cos2x2, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm x: cosx=cosα⇔x=±α+k2π(k∈ℤ). - Giải bất phương trình 0≤x≤2π và tìm các nghiệm thỏa mãn. Giải chi tiết: Ta có: 5sin2x+5cos2x=25⇔5sin2x+51−sin2x=25⇔5sin2x+55sin2x=25 Đặt t=5sin2x(t≥1), phương trình trở thànht+5t=25⇔t2−25t+5=0 ⇔(t−5)2=0⇔t=5(tm). ⇒5sin2x=5=512⇔sin2x=12 ⇔1−cos2x2=12⇔cos2x=0 ⇔2x=π2+kπ⇔x=π4+kπ2(k∈ℤ) Xét x∈[0;2π], ta có [0 le frac{ pi }{4} + frac{{k pi }}{2} le 2 pi Leftrightarrow - frac{1}{2} le k le frac{7}{2} ]. Mà k={0;1;2;3}. ⇒x={π4;3π4;5π4;7π4}. Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0;2π]là T=π4+3π4+5π4+7π4=4π. Đáp án D.

Câu hỏi:

23/04/2022 192

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ trên đoạn $[0; 2 π] .$

A. $T = 2 π$

B. $T = \frac{3 π}{4}$

C. $T = π$

D. $T = 4 π$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ .

- Đặt ẩn phụ $t = 5^{\sin^{2} x} (t \geq 1)$ , đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

- Giải phương trình tìm t.

- Sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$ , sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm x: $\cos x = \cos α \Leftrightarrow x = \pm α + k 2 π (k \in ℤ)$ .

- Giải bất phương trình $0 \leq x \leq 2 π$ và tìm các nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết:

Ta có:

$5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ $\Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} + 5^{1 - \sin^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ $\Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} + \frac{5}{5^{\sin^{2} x}} = 2 \sqrt{5}$

Đặt $t = 5^{\sin^{2} x} (t \geq 1)$ , phương trình trở thành $t + \frac{5}{t} = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow t^{2} - 2 \sqrt{5} t + 5 = 0$ $\Leftrightarrow {(t - \sqrt{5})}^{2} = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt{5} (t m)$ .

$\Rightarrow 5^{\sin^{2} x} = \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow \sin^{2} x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - \cos 2 x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 x = 0$

$\Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$

Xét $x \in [0; 2 π]$ , ta có \[0 \le \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \le 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{7}{2}\]. Mà k={0;1;2;3}.

$\Rightarrow x = {\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}; \frac{5 π}{4}; \frac{7 π}{4}}$ .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0; 2 π]$ là $T = \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} + \frac{5 π}{4} + \frac{7 π}{4} = 4 π$ .

Đáp án D.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $m \in [- 2021; 2021]$ để hàm số $g (x) = f (x + m)$ nghịch biến trên khoảng (1;2). Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A.2019

B.2022

C.2021

D.2020

Xem đáp án » 23/04/2022 7,411

Câu 2:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số $y = | 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - m |$ có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S.

A.30

B.50

C.63

D.42

Xem đáp án » 23/04/2022 4,418

Câu 3:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ có tập xác định là \[\mathbb{R}\].

A. $[\frac{2}{3}; 10]$

B. $(\frac{2}{3}; + \infty)$

C. $[\frac{2}{3}; + \infty)$

D. $(- \infty; \frac{2}{3})$

Xem đáp án » 23/04/2022 3,380

Câu 4:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?

A. $7!$

B. $8^{8}$

C.8

D. $8!$

Xem đáp án » 05/04/2022 3,154

Câu 5:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ tại ba điểm phân biệt A,B,C (B nằm giữa A và C) sao cho AB=2BC. Tính tổng các phần tử thuộc S.

A.0

B. $\frac{7 - \sqrt{7}}{7}$

C.-2

D.-4

Xem đáp án » 23/04/2022 2,973

Câu 6:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (4 x - x^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - \frac{5}{3}$ trên đoạn [1;3].

A.10

B.-10

C.9

D. $- \frac{5}{3}$

Xem đáp án » 23/04/2022 1,696

Câu 7:

Cho giới hạn $\lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x} = \frac{a}{b}$ , với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $a^{2} - b^{2}$ .

A. 9

B. -9

C. \[14\]

D. 41

Xem đáp án » 23/04/2022 1,564

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ trên đoạn $[0; 2 π] .$

Nhà sách VIETJACK:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số $y = | 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - m |$ có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ có tập xác định là \[\mathbb{R}\].

Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ tại ba điểm phân biệt A,B,C (B nằm giữa A và C) sao cho AB=2BC. Tính tổng các phần tử thuộc S.

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (4 x - x^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - \frac{5}{3}$ trên đoạn [1;3].

Cho giới hạn $\lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x} = \frac{a}{b}$ , với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $a^{2} - b^{2}$ .

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn [0;2π].

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m∈[−2021;2021] để hàm số g(x)=f(x+m) nghịch biến trên khoảng (1;2). Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y=|3x4−8x3−6x2+24x−m|có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=1log3(x2−2x+3m)có tập xác định là \[\mathbb{R}\].

Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=x3−3x2 tại ba điểm phân biệt A,B,C (B nằm giữa A và C) sao cho AB=2BC. Tính tổng các phần tử thuộc S.

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(4x−x2)+13x3−3x2+8x−53trên đoạn [1;3].

Cho giới hạn limx→−4x2+3x−4x2+4x=ab, với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức a2−b2.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ trên đoạn $[0; 2 π] .$

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số $y = | 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - m |$ có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ có tập xác định là \[\mathbb{R}\].

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ tại ba điểm phân biệt A,B,C (B nằm giữa A và C) sao cho AB=2BC. Tính tổng các phần tử thuộc S.

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = f (4 x - x^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - \frac{5}{3}$ trên đoạn [1;3].

Cho giới hạn $\lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x} = \frac{a}{b}$ , với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $a^{2} - b^{2}$ .