Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{x^3} - 9{x^2} + 12x + m + 2} \right|.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 20;30} \right]\) sao cho với mọi số thực \(a,b,c \in \left[ {1;3} \right]\) thì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^3} - 9{x^2} + 12x + m + 2,\) ta có:

\(g'\left( x \right) = 9{x^2} - 18x + 12 = 9{\left( {x - 1} \right)^2} + 3 >0\)

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;3} \right].\)

Suy ra: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = m + 8,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = m + 38.\)

Vì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( x \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

\(f\left( x \right) >0\forall x \in \left[ {1;3} \right],\) suy ra: \(g\left( 1 \right).g\left( 3 \right) >0 \Leftrightarrow \left( {m + 8} \right)\left( {m + 38} \right) >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >- 8\\m < - 38\end{array} \right..\)

Suy ra trên đoạn \(\left[ { - 20;30} \right]\) thì \(m >- 8.\)

\(f\left( 1 \right) = \left| {8 + m} \right| = m + 8,f\left( 2 \right) = \left| {14 + m} \right| = m + 14,f\left( 3 \right) = \left| {38 + m} \right| = m + 38.\)

Mặt khác với mọi số thực \(a,b,c \in \left[ {1;3} \right]\) thì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( x \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi \(f\left( 1 \right),f\left( 1 \right),f\left( 3 \right)\) cũng là độ dài ba cạnh của tam giác.

$\iff f\left(1\right)+f\left(1\right)>f\left(3\right)\iff 2m+16>m+38\iff m>22.$

Với \(m \in \left[ { - 20;30} \right]\) thì ta có 8 giá trị nguyên.

Đáp án C.