Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(1 >a \ge b >0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(T = \log _a^2b + {\log _{ab}}{a^{36}}\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(T = \log _a^2b + {\log _{ab}}{a^{36}}\)
\( = \log _a^2b + 36.\frac{1}{{{{\log }_a}ab}}\)
\( = \log _a^2b + \frac{{36}}{{1 + {{\log }_a}b}}\)
Đặt \(t = {\log _a}b\)
Vì \(0 < b \le a < 1\) nên \({\log _a}b \ge {\log _a}a \Rightarrow t \ge 1.\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {t^2} + \frac{{36}}{{1 + t}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
\(f'\left( t \right) = 2t - \frac{{36}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}},f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có \({T_{\min }} = 16\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow b = {a^2}.\)
Đáp án C
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\(\left( { - 2;0} \right).\)
B.\(\left( { - 1;2} \right).\)
C.\(\left( {0;4} \right).\)
D. \(\left( {1;5} \right).\)
Lời giải
Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 3\)
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x + 1} \right) = 3 - {x^2}\)
Đặt \(t = x + 1\)
Suy ra \(f'\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2\)
Gọi \(h\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2 \Rightarrow g'\left( t \right) = f'\left( t \right) - h\left( t \right)\)
Đồ thị \(y = h\left( t \right)\) có đỉnh \(I\left( {1;3} \right);t = 3 \Rightarrow h\left( 3 \right) = - 1;t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 2\)
Sau khi vẽ \(h\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2\) ta được hình vẽ bên
Hàm số nghịch biến khi \(g'\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) - h\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 3\)
Suy ra \(0 \le x + 1 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right).\)
Đáp án B
Câu 2
A.\(\left( { - \frac{1}{2};1} \right).\)
B.\(\left( { - 2; - \frac{1}{2}} \right).\)
C.\(\left( {\frac{3}{2};3} \right).\)
D. \(\left( {0;\frac{3}{2}} \right).\)
Lời giải
\(y' \ge 0 \Leftrightarrow - 2f'\left( {1 - 2x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x \le - 3\\ - 2 \le 1 - 2x \le 1\\1 - 2x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\0 \le x \le \frac{3}{2}\\x \le - 1\end{array} \right.\)
Vì hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\left( {0;\frac{3}{2}} \right),\left( {2; + \infty } \right).\)
Đáp án D
Câu 3
A. \(\frac{2}{{27}}\)
B.\(\frac{1}{{18}}.\)
C.\(\frac{1}{9}.\)
D. \(\frac{2}{9}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.3.
B.1.
C.4.
D. 2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\( - 1 \le m \le 1.\)
B.0
C.\(0 < m \le 2.\)
D. \( - 1 < m < 0.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\(2 < m \le 3.\)
B.\(2 < m < 3.\)
C.\(2 \le m \le 3.\)
D. \(m >2\) hoặc \(m < - 1.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\(0 < a < 1,0 < b < 1.\)
B.\(0 < a < 1,b >1.\)
C.\(a >1,0 < b < 1.\)
D. \(a >1,b >1.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập