Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) có hệ số góc \(m\left( {m >0} \right)\) cắt đồ thị $\left(C\right):y=-x^3+6x^2-9x+1$ tại ba điểm phân biệt \(A,B,C.\) Gọi \(B',C'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B,C\) lên trục tung. Biết rằng hình thang \(BB'C'C\) có diện tích bằng 8, giá trị của \(m\) thuộc khoảng nào sau đây?

Cách 1:

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc \(m\) và đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) là \(y = mx - 2m\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2 = m\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + m + 1 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow A\left( {2;0} \right).\) Do đó: \(\left( C \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) khác \(2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 3 - m >0\\{2^2} - 4.2 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m >- 3\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\)

Theo định lí Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.,\) mà \(m >0 \Rightarrow m + 1 >0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} >0\\{x_1}.{x_2} >0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} >0\\{x_2} >0\end{array} \right.\)

Giả sử \(B\left( {{x_1};m{x_1} - 2m} \right)\) và \(C\left( {{x_2};m{x_2} - 2m} \right) \Rightarrow B'\left( {0;m{x_1} - 2m} \right)\) và \(C'\left( {0;m{x_2} - 2m} \right).\)

\( \Rightarrow B'C' = \left| {m\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right| = m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|;BB' = \left| {{x_1}} \right| = {x_1};CC' = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}\)

Ta có: \({S_{BB'C'C}} = \frac{1}{2}B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 8 \Leftrightarrow B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 16 \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 16\)

\( \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {m^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left( {16 - 4m - 4} \right) = 16\)

\( \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){\left( {m - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) hoặc \(m = 2\)

Vì \(0 < m < 3 \Rightarrow m = 2 \Rightarrow m \in \left( {1;5} \right).\)

Cách 2:

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc \(m\) và đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) và \(y = m\left( {x - 2} \right)\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2{\rm{ }}\left( C \right)\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(y' = - 3{x^2} + 12x - 9 = 0 \Leftrightarrow - 6x = - 12 \Leftrightarrow x = 2;f\left( 2 \right) = 0\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận điểm \(A\left( {2;0} \right)\) làm điểm uốn.

\( \Rightarrow B\) và \(C\) đối xứng nhau qua \(A;B'\) và \(C'\) đối xứng nhau qua \(O\)

\( \Rightarrow OA\) là đường trung bình của hình thang \(BB'C'C \Rightarrow \frac{{BB' + CC'}}{2} = OA = 2\)

Diện tích của hình thang \(BB'C'C\) bằng \(8 \Rightarrow B'C' = 4\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \({y_B} >0 \Rightarrow {y_B} = 2 \Rightarrow - {x_B}^3 + 6x_B^2 - 9{x_B} + 2 = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_B} = 0\\{x_B} = 3\end{array} \right.\)

+ \({x_B} = 0 \Rightarrow B\left( {0;2} \right) \Rightarrow \left( d \right)\) có phương trình \(y = - x + 2 \Rightarrow m = - 1 < 0\) (loại).

+ \({x_B} = 3 \Rightarrow B\left( {3;2} \right) \Rightarrow \left( d \right)\) có phương trình \(y = 2x - 4 \Rightarrow m = 2\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị của \(m\) thuộc khoảng \(\left( {1;5} \right).\)

Đáp án D