Câu hỏi:

27/04/2022 443

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A\left( {2;0} \right)$ có hệ số góc $m\left( {m >0} \right)$ cắt đồ thị $(C) : y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 1$ tại ba điểm phân biệt $A,B,C.$ Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B,C$ lên trục tung. Biết rằng hình thang $BB'C'C$ có diện tích bằng 8, giá trị của $m$ thuộc khoảng nào sau đây?

A.$\left( {5;8} \right).$

B.$\left( { - 5;0} \right).$

C.$\left( {0;2} \right).$

D.$\left( {1;5} \right).$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1:

Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ có hệ số góc $m$ và đi qua $A\left( {2;0} \right)$ là $y = mx - 2m$

Hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình:

$ - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2 = m\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + m + 1 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.$

$x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow A\left( {2;0} \right).$ Do đó: $\left( C \right)$ cắt $\left( d \right)$ tại 3 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ khác $2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 3 - m >0\\{2^2} - 4.2 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m >- 3\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3$

Theo định lí Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.,$ mà $m >0 \Rightarrow m + 1 >0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} >0\\{x_1}.{x_2} >0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} >0\\{x_2} >0\end{array} \right.$

Giả sử $B\left( {{x_1};m{x_1} - 2m} \right)$ và $C\left( {{x_2};m{x_2} - 2m} \right) \Rightarrow B'\left( {0;m{x_1} - 2m} \right)$ và $C'\left( {0;m{x_2} - 2m} \right).$

$ \Rightarrow B'C' = \left| {m\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right| = m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|;BB' = \left| {{x_1}} \right| = {x_1};CC' = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}$

Ta có: ${S_{BB'C'C}} = \frac{1}{2}B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 8 \Leftrightarrow B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 16 \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 16$

$ \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {m^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left( {16 - 4m - 4} \right) = 16$

$ \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){\left( {m - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ hoặc $m = 2$

Vì $0 < m < 3 \Rightarrow m = 2 \Rightarrow m \in \left( {1;5} \right).$

Cách 2:

Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ có hệ số góc $m$ và đi qua $A\left( {2;0} \right)$ và $y = m\left( {x - 2} \right)$

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2{\rm{ }}\left( C \right)$

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$y' = - 3{x^2} + 12x - 9 = 0 \Leftrightarrow - 6x = - 12 \Leftrightarrow x = 2;f\left( 2 \right) = 0$

$ \Rightarrow $ Đồ thị $\left( C \right)$ nhận điểm $A\left( {2;0} \right)$ làm điểm uốn.

$ \Rightarrow B$ và $C$ đối xứng nhau qua $A;B'$ và $C'$ đối xứng nhau qua $O$

$ \Rightarrow OA$ là đường trung bình của hình thang $BB'C'C \Rightarrow \frac{{BB' + CC'}}{2} = OA = 2$

$Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A\left( {2;0} \right)$ có hệ số góc $m\left( {m >0} \right)$ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt $A,B,C.$ Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc củ (ảnh 1)$

Diện tích của hình thang $BB'C'C$ bằng $8 \Rightarrow B'C' = 4$

Không mất tính tổng quát, giả sử ${y_B} >0 \Rightarrow {y_B} = 2 \Rightarrow - {x_B}^3 + 6x_B^2 - 9{x_B} + 2 = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_B} = 0\\{x_B} = 3\end{array} \right.$

+ ${x_B} = 0 \Rightarrow B\left( {0;2} \right) \Rightarrow \left( d \right)$ có phương trình $y = - x + 2 \Rightarrow m = - 1 < 0$ (loại).

+ ${x_B} = 3 \Rightarrow B\left( {3;2} \right) \Rightarrow \left( d \right)$ có phương trình $y = 2x - 4 \Rightarrow m = 2$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị của $m$ thuộc khoảng $\left( {1;5} \right).$

Đáp án D

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số $a,b,c,d?$

$Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số $a,b,c,d?$ (ảnh 1)$

A.4.

B.1.

C.3.

D. 2.

Lời giải

Từ đồ thị ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0.$

Gọi ${x_1}$ và ${x_2}$ lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho $\left( {{x_1} < {x_2}} \right).$

Từ đồ thị ta thấy: ${x_1} + {x_2} >0 \Rightarrow ab < 0 \Rightarrow b >0.$</>

Và: ${x_1}.{x_2} >0 \Rightarrow ac >0 \Rightarrow c >0.$

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ $y \Rightarrow d >0.$

Vậy trong các số $a,b,c,d$ có hai số dương.

Đáp án D

Câu 2

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right)x + 2$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right).$ Số phần tử của $S$ bằng

A.2.

B.3.

C.0.

D. 1.

Lời giải

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

$y' = 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5$

Hàm số đồng biến trong khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ khi $y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).$

$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).$

$3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$

Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).$

$g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} >0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow $ Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trong khoảng $\left( {2; + \infty } \right).$

Do đó: $m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}.$

Vì $0 < m \le \frac{5}{{12}}.$ Do đó không có giá trị nguyên dương nào của $m$ thỏa mãn bài toán.

Đáp án C

Câu 3

Cho các số dương $a,b,c$ khác 1 thỏa mãn ${\log _a}\left( {bc} \right) = 3,{\log _b}\left( {ca} \right) = 4.$ Tính giá trị của ${\log _c}\left( {ab} \right).$

A.$\frac{{16}}{9}.$

B.$\frac{{16}}{4}.$

C.$\frac{{11}}{9}.$

D. $\frac{9}{{11}}.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và $OA = OB = OC = a.$ Khi đó thể tích của khối tứ diện $OABC$ là

A.$\frac{{{a^3}}}{2}.$

B.$\frac{{{a^3}}}{{12}}.$

C.$\frac{{{a^3}}}{6}.$

D. $\frac{{{a^3}}}{3}.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a,$ cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 2 .$ Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

A.$V = \sqrt 2 {a^3}.$

B.$V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}.$

C.$V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}.$

D. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB = AC = a,$ góc $BAC = {120^0},AA' = a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $B'C'$ và $CC'.$ Số đo góc giữa mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

A.${60^0}.$

B.${30^0}.$

C.$\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}.$

D. \[\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)$ có đồ thị của đạo hàm $f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Biết rằng $e >n.$

$Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)$ có đồ thị của đạo hàm $f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Biết rằng $e >n.$Số điểm cực trị của (ảnh 1)$

Số điểm cực trị của hàm số $y = f'\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)$ là

A.7.

B.6.

C.10.

D. 14.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay