Câu hỏi:
27/04/2022 227Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = 3,\) tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \[AC = 2\sqrt 2 .\] Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC.\) Trên hai cạnh \(SA,SB\) lấy các điểm \(P,Q\) tương ứng sao cho \(SP = 1,SQ = 2.\) Tính thể tích \(V\) của tứ diện \(MNPQ.\)
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi \(I\) là giao điểm của \(PQ\) và \(AB\)
\({V_{MNPQ}} = {V_{I.MPN}} - {V_{I.QMN}} = {V_{P.MNI}} - {V_{Q.MNI}}.\)
Tính diện tích \(\Delta MNI\)
\(MN = 1\)
Gọi \(E\) là trung điểm của \(SQ \Rightarrow PE//AB\) và \(PE = \frac{1}{3}AB\)
Ta có \(\Delta PEQ = \Delta IBQ\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow PE = IB\)
\( \Rightarrow IB = \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}.\)
\(I{N^2} = B{N^2} + I{B^2} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{{13}}{9} \Rightarrow IN = \frac{{\sqrt {13} }}{3}.\)
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(IAM\) có:
\(IM = I{A^2} + A{M^2} - 2IA.AM.\cos {45^0}\)
\( = {\left( {\frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2.\frac{8}{3}.\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{34}}{9} \Rightarrow IM = \frac{{\sqrt {34} }}{9}.\)
\(\cos \widehat {MNI} = \frac{{M{N^2} + I{N^2} - M{I^2}}}{{2.MN.IN}} = \frac{{1 + \frac{{13}}{9} - \frac{{34}}{9}}}{{2.1.\frac{{\sqrt {13} }}{3}}} = \frac{{ - 2\sqrt {13} }}{{13}}.\)
\(\sin \widehat {MNI} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {MNI}} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}.\)
\({S_{MNI}} = \frac{1}{2}.MN.NI.\sin \widehat {MNI} = \frac{1}{2}.1.\frac{{\sqrt {13} }}{3}.\frac{3}{{\sqrt {13} }} = \frac{1}{2}.\)
\({V_{MNPQ}} = \frac{1}{3}.d\left( {P;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} - \frac{1}{3}.d\left( {Q;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}}\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} - \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}}\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} = \frac{1}{9}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{MIN}}\)
Vì \(SA = SB = SC\) nên hình chiếu của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Mà tam giác \(ABC\) vuông tại B nên tam đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) chính là điểm \(M\).
Vậy \({V_{MNPQ}} = \frac{1}{9}.\sqrt 7 .\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 7 }}{{18}}.\)
Đáp án A
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right)x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Số phần tử của \(S\) bằng
Câu 2:
Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d?\)
Câu 3:
Cho các số dương \(a,b,c\) khác 1 thỏa mãn \({\log _a}\left( {bc} \right) = 3,{\log _b}\left( {ca} \right) = 4.\) Tính giá trị của \({\log _c}\left( {ab} \right).\)
Câu 4:
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 3\) song song với trục hoành?
Câu 5:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết rằng \(e >n.\)
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f'\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)\) là
Câu 7:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a,\) góc \(BAC = {120^0},AA' = a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(CC'.\) Số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
về câu hỏi!