Câu hỏi:
11/04/2022 229Cho một mô hình tứ diện đều \(ABCD\) cạnh 1 và vòng tròn thép có bán kính \(R.\) Hỏi có thể cho mô hình tứ diện trên đi qua vòng tròn đó (bỏ qua bề dày của vòng tròn) thì bán kính \(R\) nhỏ nhất gần với số nào trong các số sau?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi tứ diện đều là \(ABCD,\) rõ ràng nếu bán kính \(R\) của vòng thép bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) ta có thể cho mô hình tứ diện đi qua được vòng tròn, do đó ta chỉ cần xét các vòng tròn có bán kính không lớn hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD.\)
Đưa đỉnh C qua vòng thép và đặt đỉnh \(A\) lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh \(BC\) và \(CD\) lần lượt tại \(M\) và \(N,\) có thể thấy trong trường hợp này ta luôn đưa được mô hình tứ diện qua vòng thép bằng cách cho đỉnh \(A\) đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh \(B\) hoặc \(D.\)
Do vậy để tìm vòng thép có bán kính nhỏ nhất ta chỉ cần tìm các điểm \(M,N\) lần lượt trên các cạnh \(BC,CD\) sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) nhỏ nhất.
Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác \(AMN\) cân tại \(A.\)
Đặt \(CM = x,\left( {0 < x < 1} \right),\) ta có \(MN = CM = CN = x.\)
\(A{M^2} = C{M^2} + C{A^2} - 2CM.CA.\cos {60^0} = {x^2} + 1 - 2x.\frac{1}{2} = {x^2} - x + 1 \Rightarrow AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)
\(AN = AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} .\)
Ta có \(\cos \widehat {MAN} = \frac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2.AM.AN}} = \frac{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {x^2}}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
\(\sin \widehat {MAN} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3{x^2} - 4x + 4} \right)} }}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) là
\({R_{AMN}} = \frac{{MN}}{{2\sin \widehat {MAN}}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }}\)
\(R\) chính là giá trị nhỏ nhất của \({R_{AMN}}\) trên khoảng \(\left( {0;1} \right).\)
Xét \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }},x \in \left( {0;1} \right),\) sử dụng Casio ta được giá trị nhỏ nhất gần đúng của \(f\left( x \right)\) là \(0.4478.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất mà \(R\) có thể nhận được gần với \(0.448.\)
Đáp án D
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)
Đã bán 986
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\) là:
Xem đáp án »
15/06/2022
11,427
Câu 3:
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)
Xem đáp án »
15/06/2022
4,496
Câu 4:
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\)
Xem đáp án »
15/06/2022
4,056
Câu 5:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,AB = \sqrt 3 ,BC = 3,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(SC\) với đáy bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Xem đáp án »
15/06/2022
3,152
Câu 6:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm tọa độ đỉnh \(A'\) biết tọa độ các điểm \(A\left( {0;0;0} \right);B\left( {1;0;0} \right);C\left( {1;2;0} \right);D'\left( { - 1;3;5} \right).\)
Xem đáp án »
15/06/2022
2,767
Câu 7:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\), tam giác \(ABC\) đều có cạnh \(2a.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC.\)
Xem đáp án »
15/06/2022
1,545
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận