Câu hỏi:
11/04/2022 218Cho một mô hình tứ diện đều \(ABCD\) cạnh 1 và vòng tròn thép có bán kính \(R.\) Hỏi có thể cho mô hình tứ diện trên đi qua vòng tròn đó (bỏ qua bề dày của vòng tròn) thì bán kính \(R\) nhỏ nhất gần với số nào trong các số sau?
Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Gọi tứ diện đều là \(ABCD,\) rõ ràng nếu bán kính \(R\) của vòng thép bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) ta có thể cho mô hình tứ diện đi qua được vòng tròn, do đó ta chỉ cần xét các vòng tròn có bán kính không lớn hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD.\)
Đưa đỉnh C qua vòng thép và đặt đỉnh \(A\) lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh \(BC\) và \(CD\) lần lượt tại \(M\) và \(N,\) có thể thấy trong trường hợp này ta luôn đưa được mô hình tứ diện qua vòng thép bằng cách cho đỉnh \(A\) đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh \(B\) hoặc \(D.\)
Do vậy để tìm vòng thép có bán kính nhỏ nhất ta chỉ cần tìm các điểm \(M,N\) lần lượt trên các cạnh \(BC,CD\) sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) nhỏ nhất.
Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác \(AMN\) cân tại \(A.\)
Đặt \(CM = x,\left( {0 < x < 1} \right),\) ta có \(MN = CM = CN = x.\)
\(A{M^2} = C{M^2} + C{A^2} - 2CM.CA.\cos {60^0} = {x^2} + 1 - 2x.\frac{1}{2} = {x^2} - x + 1 \Rightarrow AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)
\(AN = AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} .\)
Ta có \(\cos \widehat {MAN} = \frac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2.AM.AN}} = \frac{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {x^2}}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
\(\sin \widehat {MAN} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3{x^2} - 4x + 4} \right)} }}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) là
\({R_{AMN}} = \frac{{MN}}{{2\sin \widehat {MAN}}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }}\)
\(R\) chính là giá trị nhỏ nhất của \({R_{AMN}}\) trên khoảng \(\left( {0;1} \right).\)
Xét \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }},x \in \left( {0;1} \right),\) sử dụng Casio ta được giá trị nhỏ nhất gần đúng của \(f\left( x \right)\) là \(0.4478.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất mà \(R\) có thể nhận được gần với \(0.448.\)
Đáp án D
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\) là:
Câu 3:
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\)
Câu 4:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,AB = \sqrt 3 ,BC = 3,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(SC\) với đáy bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Câu 5:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm tọa độ đỉnh \(A'\) biết tọa độ các điểm \(A\left( {0;0;0} \right);B\left( {1;0;0} \right);C\left( {1;2;0} \right);D'\left( { - 1;3;5} \right).\)
Câu 6:
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)
Câu 7:
Biết \(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = {x^2} + C.\) Tính \(\int\limits_{}^{} {f\left( {2x} \right)dx} .\)
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
45 bài tập Xác suất có lời giải
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận