Câu hỏi:

11/04/2022 218

Cho một mô hình tứ diện đều \(ABCD\) cạnh 1 và vòng tròn thép có bán kính \(R.\) Hỏi có thể cho mô hình tứ diện trên đi qua vòng tròn đó (bỏ qua bề dày của vòng tròn) thì bán kính \(R\) nhỏ nhất gần với số nào trong các số sau?

Đáp án chính xác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho một mô hình tứ diện đều \(ABCD\) cạnh 1 và vòng tròn thép có bán kính \(R.\) Hỏi có thể cho mô hình tứ diện trên đi qua vòng tròn đó (bỏ qua bề dày của vòng tròn) thì bán kính \(R\) nhỏ n (ảnh 1)

Gọi tứ diện đều là \(ABCD,\) rõ ràng nếu bán kính \(R\) của vòng thép bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) ta có thể cho mô hình tứ diện đi qua được vòng tròn, do đó ta chỉ cần xét các vòng tròn có bán kính không lớn hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD.\)

Đưa đỉnh C qua vòng thép và đặt đỉnh \(A\) lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh \(BC\) và \(CD\) lần lượt tại \(M\) và \(N,\) có thể thấy trong trường hợp này ta luôn đưa được mô hình tứ diện qua vòng thép bằng cách cho đỉnh \(A\) đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh \(B\) hoặc \(D.\)

Do vậy để tìm vòng thép có bán kính nhỏ nhất ta chỉ cần tìm các điểm \(M,N\) lần lượt trên các cạnh \(BC,CD\) sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) nhỏ nhất.

Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác \(AMN\) cân tại \(A.\)

Đặt \(CM = x,\left( {0 < x < 1} \right),\) ta có \(MN = CM = CN = x.\)

\(A{M^2} = C{M^2} + C{A^2} - 2CM.CA.\cos {60^0} = {x^2} + 1 - 2x.\frac{1}{2} = {x^2} - x + 1 \Rightarrow AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\(AN = AM = \sqrt {{x^2} - x + 1} .\)

Ta có \(\cos \widehat {MAN} = \frac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2.AM.AN}} = \frac{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {x^2}}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

\(\sin \widehat {MAN} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3{x^2} - 4x + 4} \right)} }}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) là

\({R_{AMN}} = \frac{{MN}}{{2\sin \widehat {MAN}}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }}\)

\(R\) chính là giá trị nhỏ nhất của \({R_{AMN}}\) trên khoảng \(\left( {0;1} \right).\)

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} }},x \in \left( {0;1} \right),\) sử dụng Casio ta được giá trị nhỏ nhất gần đúng của \(f\left( x \right)\) là \(0.4478.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất mà \(R\) có thể nhận được gần với \(0.448.\)

Đáp án D

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

Xem đáp án » 11/04/2022 9,670

Câu 2:

Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\) là: 

Xem đáp án » 15/06/2022 8,706

Câu 3:

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\) 

Xem đáp án » 15/06/2022 3,972

Câu 4:

Cho khối chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,AB = \sqrt 3 ,BC = 3,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(SC\) với đáy bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng 

Xem đáp án » 15/06/2022 3,062

Câu 5:

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm tọa độ đỉnh \(A'\) biết tọa độ các điểm \(A\left( {0;0;0} \right);B\left( {1;0;0} \right);C\left( {1;2;0} \right);D'\left( { - 1;3;5} \right).\) 

Xem đáp án » 15/06/2022 2,731

Câu 6:

Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)

Xem đáp án » 15/06/2022 2,611

Câu 7:

Biết \(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = {x^2} + C.\) Tính \(\int\limits_{}^{} {f\left( {2x} \right)dx} .\) 

Xem đáp án » 15/06/2022 1,285
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua