Câu hỏi:
11/04/2022 122Một mặt cầu tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh \(A,B,C\) thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài \(l,\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn \(AB,\) kẻ \(OI \bot SD,\) dễ dàng chứng minh được \(OI \bot \left( {SAB} \right).\)
Suy ra \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) giao tuyến của mặt cầu tâm \(O\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right).\) Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) với \(SB,SA;K\) là trung điểm của \(MB.\)
Giả sử \(AB = a,\) theo giả thiết ta suy ra \(OC = 1 \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 1 \Leftrightarrow a = \sqrt 3 .\)
Ta có \(SD = CD = \frac{3}{2},OD = \frac{1}{2},SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt 2 ,OI = \frac{{SO.OD}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3},\) \(ID = \frac{{O{D^2}}}{{SD}} = \frac{1}{6},SI = \frac{4}{3}.\)
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right),\) khi đó \(r = \sqrt {1 - O{I^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.\)
Ta có tam giác \(SIK\) vuông tại \(K\) và góc \(\angle ISK = {30^0}\) suy ra \(IK = \frac{1}{2}IS = \frac{2}{3}\)
Xét tam giác \(MIK\) có \(\cos I = \frac{{IK}}{{IM}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }} \Rightarrow I \approx {28^0} \Rightarrow \angle MIN \approx {64^0}\)
Khi đó chiều dài cung \(MN\) bằng \(\frac{{64}}{{180}}.\frac{{\sqrt 7 }}{3} = \frac{{16\sqrt 7 }}{{135}}.\) Vậy tổng độ dài \(l,\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là \(l = \frac{{16\sqrt 7 }}{{45}} \approx 0,94.\)
Đáp án D
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\)
Câu 3:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,AB = \sqrt 3 ,BC = 3,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(SC\) với đáy bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Câu 4:
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\) là:
Câu 5:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm tọa độ đỉnh \(A'\) biết tọa độ các điểm \(A\left( {0;0;0} \right);B\left( {1;0;0} \right);C\left( {1;2;0} \right);D'\left( { - 1;3;5} \right).\)
Câu 6:
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)
Câu 7:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\), tam giác \(ABC\) đều có cạnh \(2a.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC.\)
về câu hỏi!