Câu hỏi:
11/04/2022 136Một mặt cầu tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh \(A,B,C\) thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài \(l,\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn \(AB,\) kẻ \(OI \bot SD,\) dễ dàng chứng minh được \(OI \bot \left( {SAB} \right).\)
Suy ra \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) giao tuyến của mặt cầu tâm \(O\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right).\) Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) với \(SB,SA;K\) là trung điểm của \(MB.\)
Giả sử \(AB = a,\) theo giả thiết ta suy ra \(OC = 1 \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 1 \Leftrightarrow a = \sqrt 3 .\)
Ta có \(SD = CD = \frac{3}{2},OD = \frac{1}{2},SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt 2 ,OI = \frac{{SO.OD}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3},\) \(ID = \frac{{O{D^2}}}{{SD}} = \frac{1}{6},SI = \frac{4}{3}.\)
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right),\) khi đó \(r = \sqrt {1 - O{I^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.\)
Ta có tam giác \(SIK\) vuông tại \(K\) và góc \(\angle ISK = {30^0}\) suy ra \(IK = \frac{1}{2}IS = \frac{2}{3}\)
Xét tam giác \(MIK\) có \(\cos I = \frac{{IK}}{{IM}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }} \Rightarrow I \approx {28^0} \Rightarrow \angle MIN \approx {64^0}\)
Khi đó chiều dài cung \(MN\) bằng \(\frac{{64}}{{180}}.\frac{{\sqrt 7 }}{3} = \frac{{16\sqrt 7 }}{{135}}.\) Vậy tổng độ dài \(l,\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là \(l = \frac{{16\sqrt 7 }}{{45}} \approx 0,94.\)
Đáp án D
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\)
Xem đáp án »
15/06/2022
3,204
Câu 3:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,AB = \sqrt 3 ,BC = 3,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(SC\) với đáy bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Xem đáp án »
15/06/2022
2,700
Câu 4:
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\) là:
Xem đáp án »
15/06/2022
2,135
Câu 5:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm tọa độ đỉnh \(A'\) biết tọa độ các điểm \(A\left( {0;0;0} \right);B\left( {1;0;0} \right);C\left( {1;2;0} \right);D'\left( { - 1;3;5} \right).\)
Xem đáp án »
15/06/2022
1,994
Câu 6:
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)
Xem đáp án »
15/06/2022
831
Câu 7:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\), tam giác \(ABC\) đều có cạnh \(2a.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC.\)
Xem đáp án »
15/06/2022
783
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (đề 1)
-
Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2023 có đáp án
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 3)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán mới nhất cực hay có lời giải (Đề 1)
về câu hỏi!