Cho hình nón đỉnh \(S,\) đường cao \(SO,A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(\widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}.\) Tính độ dài đường sinh của hình nón theo \(a.\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Tam giác \(OAB\) là tam giác cân nên \(OH \bot AB\)

Mặt khác \(SO \bot AB\) nên \(AB \bot \left( {SOH} \right)\) do đó \(\left( {SOH} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) theo giao tuyến \(SH\)

Từ \(O\) kẻ \(OK \bot SH\) suy ra \(OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OK\)

Tam giác \(SAB\) là tam giác cân tại \(S\) (vì \(SA = SB)\)

Lại có \(\widehat {SAB} = {60^0}\) nên tam giác \(SAB\) là tam giác đều

Đặt \(SA = SB = AB = 2x;OA = r\)

Trong tam giác vuông \(SOA\) có \(SO = OA.\tan \widehat {SAO} = \frac{r}{{\sqrt 3 }}\)

Trong tam giác vuông \(SOH\) có \(OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \)

Trong tam giác đều \(SAB\) có \(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 \)

Ta có \(S{H^2} = S{O^2} + O{H^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = \frac{{{r^2}}}{3} + {r^2} - {x^2} \Leftrightarrow r = x\sqrt 3 \)

Trong tam giác vuông \(SOH\) có \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{r}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{r^2} - {x^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là \(l = SA = 2x = a\sqrt 2 .\)

Đáp án D