Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A,AB = a,BC = 2a,\) mặt bên \(ACC'A'\) là hình vuông. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,CC',A'B'\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC.\) Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MP\) và \(HN.\)

Gọi \(P',M'\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'C'.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}P'M//BC\\P'M \not\subset \left( {BCC'B'} \right)\\BC \subset \left( {BCC'B'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P'M//\left( {BCC'B'} \right)\left( 1 \right)\)

Tương tự ta chứng minh được \(M'M//\left( {BCC'B'} \right)\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\left( {PP'MM'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {PP'MM'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\\PM \subset \left( {PP'MM'} \right)\\HN \subset \left( {BCC'B'} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow d\left( {HN;PM} \right) = d\left( {\left( {PP'MM'} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\)

Trong tam giác vuông \(ABC\) có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 \)

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MP\) và \(HN\) là \(d\left( {MP;HN} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án A