Câu hỏi:

26/04/2022 1,855

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $3a$. Gọi $M$thuộc cạnh $B'C'$ sao cho $MC' = 2MB'$ , $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AC = 4NC$ Mặt phẳng $\left( {A'MN} \right)$ cắt cạnh $BC$ tại $Q$. Tính thể tích $V$ khối đa diện $CNQ.C'A'M$.

A. $V = \frac{{189\sqrt 3 {a^3}}}{{64}}$.

B. $V = \frac{{63\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.$

C. $V = \frac{{26\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}.$

D. \[V = \frac{{31\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1.

$Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $3a$. Gọi $M$thuộc cạnh $B'C'$ sao cho $MC' = 2MB'$ , $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AC = 4NC$ Mặt phẳng \(\ (ảnh 1)$

Mặt phẳng

$\left( {A'MN} \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {A'B'C'} \right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A'M$ với cạnh $BC.$

Kéo dài các đường $A'N,MQ$ và $C'C$ đồng quy tại cùng một điểm $P$ (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).

Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt.

Ta có $C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2a.{S_1} = {S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.$

Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC = 2EB$ thì $A'M//AE$ nên

Diện tích tam giác $CNQ$ là ${S_2} = {S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{2}CQ.CN.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{3a}}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}.$

Vậy ..

Cách 2:

Mặt phẳng $\left( {A'MN} \right)$ cắt các mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {A'B'C'} \right)$ theo các giao tuyến song song nên $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $N$ song song với $A'M$ với cạnh $BC.$

Ta có $C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2A,{S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.$

Lại có $\frac{{PC}}{{PC'}} = \frac{{CN}}{{A'C'}} = \frac{{CN}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{PC}}{{CC'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PC = \frac{1}{3}.3a = a \Rightarrow PC' = 4a.$

Thể tích khối chóp $P.C'A'M$ là ${V_{P.C'A'M}} = \frac{1}{3}.4a.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = 2\sqrt 3 {a^3}.$

Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC = 2EB$ thì $A'M//AE$ nên

$\frac{{CQ}}{{CE}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow CQ = \frac{1}{4}CE = \frac{1}{4}C'M = \frac{1}{2}a.$

Ta có ${S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{2}D\left( {N,CQ} \right).CQ = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.d\left( {A,BC} \right).CQ = \frac{1}{8}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2}a = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}.$

Thể tích khối chóp $P.CNQ$ là ${V_{P.CNQ}} = \frac{1}{3}PC.{S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}}.$

Vậy ${V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{P.C'A'M}} - {V_{P.CNQ}} = 2\sqrt 3 {a^3} - \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{63\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.$

Cách 3:

Ta có ${V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{N.MC'A'}} + {V_{N.CQMC'}}.$

Ta có $C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2A,{S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.$

${V_{CNQ.C'A'M}} = \frac{1}{3}.CC'.{S_{A'C'M}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2}.$

Gọi $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $EC = 2EB$ thì $A'M//AE$ nên $NQ//AE,$ ta có:

$\frac{{CQ}}{{CE}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow CQ = \frac{1}{4}CE = \frac{1}{4}C'M = \frac{1}{2}a.$

Diện tích hình thang $CQMC'$ là ${S_{\Delta CQNC'}} = \frac{1}{2}CC'\left( {CQ + C'M} \right) = \frac{1}{2}.3a.\left( {\frac{1}{2}a + 2a} \right) = \frac{{15{a^2}}}{4}.$

Thể tích khối chóp $N.CQMC'$ là

${V_{N.CQMC'}} = \frac{1}{3}.d\left( {N,\left( {CQMC'} \right)} \right).{S_{CQNC'}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{CQNC'}} = \frac{1}{{12}}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{15{a^2}}}{4} = \frac{{15\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.$

Thể tích khối đa diện cần tìm là

${V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{N.MC'A'}} + {V_{N.CQMC'}} = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2} + \frac{{15\sqrt 3 {a^3}}}{{32}} = \frac{{63\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.$

Đáp án B

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho 40 thẻ được đánh số từ 1 đến 40, chọn ngẫu nhiên 3 thẻ.Xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 3 bằng

A. \[\frac{9}{{95}}\].

B. \[\frac{{127}}{{380}}\].

C. \[\frac{{11}}{{380}}\].

D. \[\frac{{11}}{{190}}\].

Lời giải

Gọi không gian mẫu là $\Omega .$

Chọn 3 từ 40 thẻ có $C_{40}^3$ cách.

$ \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{40}^3 = 9880.$

Gọi A: “Tổng 3 số ghi trên thẻ là một số chia hết cho 3”.

Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 40 là: $\left\{ {3;6;9;...30;33;36;39} \right\}:$ có 13 số.

Các số chia cho 3 dư 1 từ 1 đến 40 là: $\left\{ {1;4;7;...31;34;37;40} \right\}:$ có 14 số.

Các số chia cho 3 dư 2 từ 1 đến 40 là: $\left\{ {2;5;8;...32;35;38} \right\}:$ có 13 số.

Trường hợp 1:3 số cùng chia hết cho 3; chia cho 3 dư 1; chia cho 3 dư 2:

Có: $C_{13}^3 + C_{13}^3 + C_{14}^3 = 286 + 286 + 364 = 936$ cách.

Trường hợp 2:1 số chia hết cho 3, 1 số chia cho 3 dư 1 và 1 số chia cho 3 dư 2:

Có: $C_{13}^1.C_{13}^1.C_{14}^1 = 2366$ cách.

Vậy số cách chọn để được tổng 3 số chia hết cho 3 là: $936 + 2366 = 3302$ cách.

$ \Rightarrow n\left( A \right) = 3302.$

Xác suất biến cố A là: $p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{3302}}{{9880}} = \frac{{127}}{{380}}.$

Đáp án B

Câu 2

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau?

A. \[y = 2{x^4} - {x^2} + 1\].

B. \[y = - {x^4} + {x^2} + 1\].

C. \[y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\].

D. \[y = {x^4} - 2{x^2} + 1\].

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta có đồ thị trên là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có bề lõm hướng xuống nên hệ số $a < 0$ nên loại đáp án A và D.

Xét điểm $\left( {1;2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số trên.

Thay $\left( {1;2} \right)$ vào $y = - {x^4} + {x^2} + 1$ ta được 2 =1 (vô lý).

Thay $\left( {1;2} \right)$ vào $y = - {x^4} + 2{x^2} + 1$ ta được 2 = 2 (đúng).

Nên đồ thị trong hình vẽ trên là đồ thị của hàm số $y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.$

Đáp án A

Câu 3

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật với \[AB = 2a\], \[BC = a\sqrt 3 \]. Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy và đường thẳng \[SC\] tạo với mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] một góc \[30^\circ \]. Tính thể tích \[V\] của khối chóp \[S.ABCD\] theo \[a\].

A. \[V = \frac{{\sqrt {15} {a^3}}}{3}\].

B. \[V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].

C. \[V = 2\sqrt 3 {a^3}\].

D. \[V = \frac{{2\sqrt {15} {a^3}}}{3}\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Số nghiệm của phương trình$\frac{{\sin 2x}}{{\cos x + 1}} = 0$ trên đoạn $\left[ {0;2020\pi } \right]$ là

A. $3030$

B. 2020

C. 3031

D. 4040

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi $AC = 2a;\,BD = 3a$, $SA = a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là

A. $2 a^{3}$

B. ${a^3}$.

C. $\frac{2}{3}{a^3}$.

D. $4{a^3}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Với \[a\] là số thực dương khác \[1\] tùy ý, \[{\log _{{a^5}}}{a^4}\] bằng

A. \[\frac{1}{5}\].

B. \[\frac{4}{5}\].

C. \[20\].

D. \[\frac{5}{4}\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có \[AA' = a\]. Khoảng cách giữa $A B'$ và \[CC'\] bằng $a\sqrt 3 $ . Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]

A. \[\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\]

B. \[{a^3}\sqrt 3 .\]

C. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\]

D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay