Câu hỏi:
26/04/2022 1,823Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(3a\). Gọi \(M\)thuộc cạnh \(B'C'\) sao cho \(MC' = 2MB'\) , \(N\) thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(AC = 4NC\) Mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) cắt cạnh \(BC\) tại \(Q\). Tính thể tích \(V\) khối đa diện \(CNQ.C'A'M\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cách 1.
Mặt phẳng
\(\left( {A'MN} \right)\) cắt các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo các giao tuyến song song nên \(Q\) là giao điểm của đường thẳng qua \(N\) song song với \(A'M\) với cạnh \(BC.\)
Kéo dài các đường \(A'N,MQ\) và \(C'C\) đồng quy tại cùng một điểm \(P\) (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).
Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt.
Ta có \(C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2a.{S_1} = {S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\)
Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(EC = 2EB\) thì \(A'M//AE\) nên
Diện tích tam giác \(CNQ\) là \({S_2} = {S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{2}CQ.CN.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{3a}}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}.\)
Vậy ..
Cách 2:
Mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) cắt các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo các giao tuyến song song nên \(Q\) là giao điểm của đường thẳng qua \(N\) song song với \(A'M\) với cạnh \(BC.\)
Ta có \(C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2A,{S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\)
Lại có \(\frac{{PC}}{{PC'}} = \frac{{CN}}{{A'C'}} = \frac{{CN}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{PC}}{{CC'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PC = \frac{1}{3}.3a = a \Rightarrow PC' = 4a.\)
Thể tích khối chóp \(P.C'A'M\) là \({V_{P.C'A'M}} = \frac{1}{3}.4a.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = 2\sqrt 3 {a^3}.\)
Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(EC = 2EB\) thì \(A'M//AE\) nên
\(\frac{{CQ}}{{CE}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow CQ = \frac{1}{4}CE = \frac{1}{4}C'M = \frac{1}{2}a.\)
Ta có \({S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{2}D\left( {N,CQ} \right).CQ = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.d\left( {A,BC} \right).CQ = \frac{1}{8}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2}a = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}.\)
Thể tích khối chóp \(P.CNQ\) là \({V_{P.CNQ}} = \frac{1}{3}PC.{S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}}.\)
Vậy \({V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{P.C'A'M}} - {V_{P.CNQ}} = 2\sqrt 3 {a^3} - \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{63\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.\)
Cách 3:
Mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) cắt các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo các giao tuyến song song nên \(Q\) là giao điểm của đường thẳng qua \(N\) song song với \(A'M\) với cạnh \(BC.\)
Ta có \({V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{N.MC'A'}} + {V_{N.CQMC'}}.\)
Ta có \(C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2A,{S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\)
\({V_{CNQ.C'A'M}} = \frac{1}{3}.CC'.{S_{A'C'M}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2}.\)
Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(EC = 2EB\) thì \(A'M//AE\) nên \(NQ//AE,\) ta có:
\(\frac{{CQ}}{{CE}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow CQ = \frac{1}{4}CE = \frac{1}{4}C'M = \frac{1}{2}a.\)
Diện tích hình thang \(CQMC'\) là \({S_{\Delta CQNC'}} = \frac{1}{2}CC'\left( {CQ + C'M} \right) = \frac{1}{2}.3a.\left( {\frac{1}{2}a + 2a} \right) = \frac{{15{a^2}}}{4}.\)
Thể tích khối chóp \(N.CQMC'\) là
\({V_{N.CQMC'}} = \frac{1}{3}.d\left( {N,\left( {CQMC'} \right)} \right).{S_{CQNC'}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{CQNC'}} = \frac{1}{{12}}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{15{a^2}}}{4} = \frac{{15\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.\)
Thể tích khối đa diện cần tìm là
\({V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{N.MC'A'}} + {V_{N.CQMC'}} = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2} + \frac{{15\sqrt 3 {a^3}}}{{32}} = \frac{{63\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.\)
Đáp án B
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)
Đã bán 986
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho 40 thẻ được đánh số từ 1 đến 40, chọn ngẫu nhiên 3 thẻ.Xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 3 bằng
Xem đáp án »
26/04/2022
31,820
Câu 2:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau?
Xem đáp án »
11/04/2022
11,035
Câu 3:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật với \[AB = 2a\], \[BC = a\sqrt 3 \]. Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy và đường thẳng \[SC\] tạo với mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] một góc \[30^\circ \]. Tính thể tích \[V\] của khối chóp \[S.ABCD\] theo \[a\].
Xem đáp án »
26/04/2022
9,715
Câu 4:
Số nghiệm của phương trình\(\frac{{\sin 2x}}{{\cos x + 1}} = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;2020\pi } \right]\) là
Xem đáp án »
26/04/2022
6,380
Câu 5:
Với \[a\] là số thực dương khác \[1\] tùy ý, \[{\log _{{a^5}}}{a^4}\] bằng
Xem đáp án »
26/04/2022
5,252
Câu 6:
Cho lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có \[AA' = a\]. Khoảng cách giữa và \[CC'\] bằng \(a\sqrt 3 \) . Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]
Xem đáp án »
26/04/2022
4,410
Câu 7:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi \(AC = 2a;\,BD = 3a\), \(SA = a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là
Xem đáp án »
26/04/2022
4,283
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận