Cho hai hàm số \(y = x(x - 2)(x - 3)(m - |x|);y = {x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) thuộc đoạn \([ - 2020;2020]\) để \(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại 4 điểm phân biệt?

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {m - \left| x \right|} \right) = {x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Số giao điểm của \(\left( {{C_1}} \right);\left( {{C_2}} \right)\) là số nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right).\)

Do \(x = 0;x = 2;x = 3\) không là nghiệm của phương trình (1) nên:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = m - \left| x \right|\)

\( \Leftrightarrow x - 1 - \frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} - \frac{1}{x} + \left| x \right| = m\)

Đặt \(f\left( x \right) = x - 1 - \frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} - \frac{1}{x} + \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 - \frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} - \frac{1}{x},x >0\\ - 1 - \frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} - \frac{1}{x},x < 0\end{array} \right.\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2 + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}},x \ge 0\\\frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}},x < 0\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) >0,\forall x \in \mathbb{R}.\)</>

Suy ra \(f\left( x \right)\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: \(\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3; + \infty } \right).\)

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = - \infty \)

Bảng biến thiên