Cho hai hàm số $y = x(x - 2)(x - 3)(m - |x|);y = {x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6$ có đồ thị lần lượt là $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ thuộc đoạn $[ - 2020;2020]$ để $\left( {{C_1}} \right)$ cắt $\left( {{C_2}} \right)$ tại 4 điểm phân biệt?

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {m - \left| x \right|} \right) = {x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Số giao điểm của $\left( {{C_1}} \right);\left( {{C_2}} \right)$ là số nghiệm của phương trình $\left( 1 \right).$

Do $x = 0;x = 2;x = 3$ không là nghiệm của phương trình (1) nên:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = m - \left| x \right|$

$\Leftrightarrow x - 1 - \frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} - \frac{1}{x} + \left| x \right| = m$

Đặt $f\left( x \right) = x - 1 - \frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} - \frac{1}{x} + \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 - \frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} - \frac{1}{x},x >0\\ - 1 - \frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} - \frac{1}{x},x < 0\end{array} \right.$

Ta có $f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2 + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}},x \ge 0\\\frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}},x < 0\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) >0,\forall x \in \mathbb{R}.$</>

Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: $\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3; + \infty } \right).$

Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = - \infty$

Bảng biến thiên