Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC = 4,BC = 2,SA = 4\sqrt 3 ;\angle SAB = \angle SAC = {30^0}.\) Gọi \({G_1},{G_2},{G_3}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(\Delta SBC;\Delta SCA;\Delta SAB\) và \(T\) đối xứng \(S\) qua mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Thể tích của khối chóp \(T.{G_1}{G_2}{G_3}\) bằng \(\frac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị \(P = 2a - b.\)  

Xét hai tam giác: \(\Delta SAC;\Delta SAB\) có:

\(SA\) chung.

\(AB = AC;\angle SAB = \angle SAC = {30^0} \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC \Rightarrow SB = SC.\)

Suy ra tam giác \(\Delta SBC;\Delta ABC\) cân.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SI\\BC \bot AI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SAI} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(AI \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Xét tam giác \(\Delta SAB\) ta có:

\(S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2SA.2B.\cos \angle SAB = 48 + 16 - 2.4\sqrt 3 .4.\cos {30^0} = 16 \Rightarrow SB = SC = 4\)

Suy ra \(\Delta SBC = \Delta ABC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AI = SI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {16 - 1} = \sqrt {15} \)

Tam giác \(\Delta SIA\) cân tại \(I\). Gọi \(J\) là trung điểm của \(SA\) ta có: \(IJ = \sqrt {A{I^2} - J{A^2}} = \sqrt {15 - 12} = \sqrt 3 \)

Ta lại có \({S_{\Delta SIA}} = \frac{1}{2}IJ.SA = \frac{1}{2}SH.AI \Rightarrow SH = \frac{{IJ.SA}}{{AI}} = \frac{{\sqrt 3 .4\sqrt 3 }}{{\sqrt {15} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {15} }}\)

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AI.BC = \sqrt {15} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{12}}{{\sqrt {15} }}.\sqrt {15} = 4.\)

Xét hình chóp \(T.{G_1}{G_2}{G_3}\) có:

\({V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \frac{1}{3}TK.{S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}} = \frac{1}{3}.\frac{4}{3}SH.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}.{S_{\Delta IMN}} = \frac{1}{3}.\frac{4}{3}SH.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{4}{{27}}{V_{S.ABC}} = \frac{{16}}{{27}}\)

Suy ra \(a = 16;b = 27 \Rightarrow P = 2a - b = 5.\)

Đáp án B