Câu hỏi:

22/04/2022 3,180

Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $A B = a, S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ bằng $φ,$ với $\cos φ = \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. $\frac{2 a^{3}}{3} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

C. $a^{3} \sqrt{2}$

D. $\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa hai mặt phẳng và bằng với Thể tích khối chóp đã cho bằng (ảnh 1)

Đặt $A D = x$ với $x > 0.$

Trong mặt phẳng $(S A C) :$ kẻ $A H ⊥ S B$ tại $H;$ trong mặt phẳng $(S A D)$ , kẻ $A K ⊥ S D$ tại $K .$

Dễ dàng chứng minh được $A H ⊥ (S B C)$ , $A K ⊥ (S C D)$ và $H$ là trung điểm của $S B .$

Chọn hệ trục tọa độ $O x y z$ như hình vẽ

Ta có: $A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), S (0; 0; a), D (0; x; 0), H (\frac{a}{2}; 0; \frac{a}{2})$

Suy ra: $\vec{S D} = (0; x; - a), \vec{A S} = (0; 0; a), \vec{A H} = (\frac{a}{2}; 0; \frac{a}{2}) .$

Trong tam giác $S A D$ vuông tại $A$ có

$S A^{2} = S K . S D \Leftrightarrow \frac{S K}{S D} = \frac{S A^{2}}{S D^{2}} = \frac{S A^{2}}{S A^{2} + A D^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2} + x^{2}}$

$\Rightarrow \vec{S K} = \frac{a^{2}}{a^{2} + x^{2}} \vec{S D} \Leftrightarrow \vec{A K} - \vec{A S} = \frac{a^{2}}{a^{2} + x^{2}} \vec{S D}$

$\Rightarrow \vec{A K} = \frac{a^{2}}{a^{2} + x^{2}} \vec{S D} + \vec{A S} \Leftrightarrow \vec{A K} = (0; \frac{a^{2} x}{a^{2} + x^{2}}; \frac{a x^{2}}{a^{2} + x^{2}})$ .

Do $\vec{A H}, \vec{A K}$ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ nên

$\cos φ = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{|\vec{A H} . \vec{A K}|}{|\vec{A H}| . |\vec{A K}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} |\vec{A H} . \vec{A K}| = |\vec{A H}| . |\vec{A K}|$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} . |\frac{a}{2} . \frac{a x^{2}}{a^{2} + x^{2}}| = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \sqrt{\frac{a^{4} x^{2}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}} + \frac{a^{2} x^{4}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{a^{2} . x^{2}}{a^{2} + x^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{a^{2} x}{a^{2} + x^{2}} . \sqrt{a^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow \sqrt{3} x = \sqrt{2} . \sqrt{a^{2} + x^{2}}$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} = 2 a^{2} + 2 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 2 a^{2} \Leftrightarrow x = a \sqrt{2} = A D .$

Thể tích khối chóp $S . A B C D$ là $V = \frac{1}{3} S A . A B . A D = \frac{1}{3} . a . a . a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Chọn đáp án B.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian $O x y z,$ phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $\{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 3 t \\ z = 2 + t \end{cases} ?$

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{2} .$

B. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{2} .$

C. $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{1} .$

D. $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{1} .$

Lời giải

Đường thẳng đã cho có véc-tơ chỉ phương $\vec{u} = (- 2; 3; 1)$ và đi qua điểm $M (1; 0; 2)$ nên có phương trình chính tắc là $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{1} .$

Chọn đáp án D.

Câu 2

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B, B C = a \sqrt{3}, A C = 2 a .$ Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{3} .$ Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng đáy bằng

A. $45^{0}$

B. $30^{0}$

C. $60^{0}$

D. $90^{0}$

Lời giải

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng (ảnh 1)

Xét tam giác $A B C$ vuông tại $B,$ ta có:

$A B^{2} = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - 3 a^{2}} = a .$

Vì $A B$ là hình chiếu của $S B$ trên mặt phẳng $(A B C)$ nên:

$(S B, (A B C)) = (S B, A B) = \hat{S B A}$

Xét tam giác $S A B$ vuông tại $A$ ta có:

$\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} .$

Suy ra $\hat{S B A} = 60^{0}$ .

Vậy $(S B, (A B C)) = 60^{0} .$

Chọn đáp án C.

Câu 3

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ,$ bảng biến thiên của hàm số $f' (x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (\frac{x + 1}{x - 1})$ là

A. 8

B. 7

C. 1

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm.

A. 0.5 cm.

B. 0,3 cm.

C. 0,188 cm.

D. 0,216 cm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{x}$ với $x > 0.$

A. $P = \sqrt{x} .$

B. $P = x^{\frac{1}{8}} .$

C. $P = x^{\frac{2}{9}} .$

D. $P = x^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình $f (x) = \log_{2} m$ có ba nghiệm phân biệt.

A. 28

B. 29

C. 31

D. 30

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

ĐGNL-ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Trắc nghiệm Tổng hợp

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng φ, với cosφ=13. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Trong không gian Oxyz,phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng x=1−2ty=3tz=2+t?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,BC=a3,AC=2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a3. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

Cho hàm số fx liên tục trên ℝ, bảng biến thiên của hàm số f'x như sau: Số điểm cực trị của hàm số gx=fx+1x−1 là

Rút gọn biểu thức P=x13x6 với x>0.

Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình fx=log2m có ba nghiệm phân biệt.

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $A B = a, S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ bằng $φ,$ với $\cos φ = \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Thể tích khối chóp đã cho bằng

Trong không gian $O x y z,$ phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $\{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 3 t \\ z = 2 + t \end{cases} ?$

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B, B C = a \sqrt{3}, A C = 2 a .$ Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{3} .$ Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng đáy bằng

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ,$ bảng biến thiên của hàm số $f' (x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (\frac{x + 1}{x - 1})$ là

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{x}$ với $x > 0.$

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình $f (x) = \log_{2} m$ có ba nghiệm phân biệt.