Với giá trị nào của m để phương trình $m{\sin }^{2}x$-3sinx.cosx-m-1=0 có đúng 3 nghiệm $x\in \left(0;\frac{3\pi }{2}\right)$?

Đáp án B

Ta có:

Xét phương trình cos⁴x – cos2x + 2sin⁶x = 0

⇔ cos⁴x – 2cos²x + 1 + 2(1 – cos²x)³ = 0

⇔ cos⁴x – 2cos²x + 1 + 2 – 6cos²x + 6cos⁴x – 2cos⁶x = 0

⇔ – 2cos⁶x+7cos⁴x – 8cos²x + 3 = 0

⇔ – 2cos⁶x + 2cos⁴x + 5cos⁴x – 5cos²x – 3cos²x + 3 = 0

⇔ (cos²x – 1)( – 2cos⁴x + 5cos²x – 3)= 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1\\{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{3}{2}(VL)\end{array} \right.\)

⇔ cos²x = 1

⇒ sinx = 0

\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\)

\[ \Rightarrow 0 \le k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow 0 \le k \le 2\]

Mặt khác \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\)

Vậy trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) phương trình có tất cả 3 nghiệm.

Chọn D.